马同学

行列式的运算性质

表格如果看不明白的，可以看下面的详细解释。

1 行列式的数乘
乘以倍，等于某行（列）乘以，该性质也可以称为行列式的数乘：

 可以通过来证明：

以及：

假设有以及它的为：

那么“行列式的数乘”说的就是，不论平行四边形的哪一边的长度增加倍，平行四边形的都会增加倍：

对于，反复运用“行列式的数乘”可得：

2 行（列）互换
中的行（列）互换后，正负号发生改变：

 假设：

那么：

根据“”可知，上面、发生了对换，所以排列的奇偶性发生改变，所以：

最终得到结论：

下面通过一个列互换的例子来解释下该性质的几何意义。假设有以及它的为：

那么“行（列）互换”导致确定的发生了改变，所以正负号会发生改变。还是用幅图来说明：

3 行列式的倍加

将一行（列）的倍加进另一行（列）里，的值不变，该性质也可以称为行列式的倍加：

 假设：

根据以及的推论可知：

“行列式的倍加”作用在的结果如下，根据，该等式可以解读为左右两边的平行四边形相等：

这两个平行四边形同底等高，很显然是相等的：

4 行列式的加法

在中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式，该性质也可以称为行列式的加法：：

设：

根据有：

“行列式的加法”作用在的结果如下，根据，该等式可以解读为左边的平行四边形是右边两个平行四边形之和：

当在一条直线上的时候一下就可以看出来：

这样就不太容易看出来，不过可以脑补上面的三角形可以搬下来填充下面的三角形：

5 行列式的乘法
对于，有：

该性质又称为行列式的乘法。

 设为，分为两种情况来讨论。

        （1） 假设不。此时有结合上的性质，可得：

所以：

        （2）假设。根据可知，它的逆矩阵可以通过变为（都是）：

有一个特点：

上述结论分情况看一下就知道了：

  • 表示，那么根据，有：

  • 表示行乘上，即为，那么根据，有：

  • 表示行乘上加到行上，即为，那么根据，有：

所以：

进而有：

从的角度来理解“行列式的乘法”，对于复合函数，，会依次进行伸缩：

所以复合函数的伸缩比例，是两者的乘积：

马上可以得到一个推论，假设，那么：

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