对坐标的曲线积分

1 对坐标的曲线积分的定义

还是从第二类曲线积分的严格定义说起:

面内从点到点的一条有向光滑曲线弧,函数上有界。在上沿的方向任意插入一点列,把分成个有向小弧段:

,点上任意取定的点,做乘积,并作和,如果当各小弧段长度的最大值时,这和的极限总是存在,且与曲线弧的分法及点的取法无关,那么称这此极限为函数(Line integral of f along L with respect to x),记作

类似的,如果总存在,且与曲线弧的分法及点的取法无关,那么称这此极限为函数,记作(Line integral of f along L with respect to y)。即:

其中叫做 被积函数 叫做 积分弧段 ,以上两个积分也称为 第二类曲线积分 (First form line integral)。

上述定义到底说的是什么?和上一节提到的向量场中粒子的运动有什么关系?下面就来解释一下。

研究粒子在力场中的运动,目的之一就是计算粒子从点运动到点这个过程中,力场对该粒子的做功。先简单地复习下高中物理中学习过的做功,如下图所示,在力的作用下木箱位移了,那么这个过程中的做功为两个向量的,即

力场对粒子的做功在原理上是一样的,只是计算更复杂,先在上沿的方向任意插入一点列,把分成个有向小弧段,如下图所示。

观察第个有向曲线弧,根据微积分的一贯思想,该有向曲线段可以用切向量段来线性近似,如下图所示。

上某点的受力为,一般来说会假定函数的。则在上任取一点,该点对应向量为,如下图所示,可认为粒子从点运动到点受到的力基本上都是

综合上面的两个近似,所以粒子从点运动到点的做功可近似为(下面计算结果可这么解读,的水平分力为,所以在水平方向的做功为;同理在竖直方向的做功为,那么的做功就是这两个方向做功之和)

用同样的方法分别算出粒子经过这个有向小弧段时的做功,并累加起来就得到如下的

当有向光滑曲线弧被划分的越来越细时,也就是时就得到了如下积分,也就得到了粒子从点沿运动到点的做功

根据上式,结合上物理知识可知,第二类曲线积分中定义的计算的是在坐标方向上的做功,而计算的是在坐标方向上的做功,即:

所以第二类曲线积分又称为 对坐标的曲线积分 (Line integral of f along L with respect to x and y)。特别说明下,上述积分又常简写如下:

根据上式我们可以得出

2 对坐标的曲线积分的性质
由对坐标的曲线积分的定义可知,它有以下性质:
  • 齐次性与可加性:设为常数,则:

  • 积分区间的拆分:若有向曲线弧可分为两段有向曲线弧,则:

  • 反向积分:设是有向光滑曲线弧,的反向曲线弧,则:

这里举例解释一下上述定理中的 反向曲线弧 ,比如下图左侧中的是有向光滑曲线弧,那么下图右侧就是的反向曲线弧

有向光滑曲线弧

的反向曲线弧

3 对坐标的曲线积分的计算法
在有向曲线弧上有定义且的参数方程为:

当参数单调地由变到时,点从的起点沿运动到终点,若上具有一阶连续导数,且,则存在,且:

上取一列点:

它们对应于一列的参数值:

依据,有:

由于,令,根据,所以存在使得:

又设点对应于参数值,即,这里,所以:

由于函数在区间上连续,所以可以把上式的换成,从而:

上式等号的右侧就是函数在区间上的,因为该函数在区间上连续,所以该定积分是存在的,因此:

同理可证:

把以上两式相加,得:

上述定理可这么来记忆,将中所有的替换为即可:

如果曲线弧是由函数给出的,可将之视为特殊的参数方程变到,然后套用上述定理即可:

上述定理还可推广到空间曲线对应参数方程的情况,变到,此时有:

关于上述定理还可以说的就是,其中的“具有一阶连续导数”表明是一条;以及该定理没有要求“”,这一点和不同。

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