格林公式

马同学

1 格林公式

设的由分段光滑的曲线构成，若函数及在上具有一阶连续偏导数，则有：

其中为的取正向的曲线。

（1）先考虑既是型区域也是型区域的情况。比如某，

型区域

令，即对应上图左侧，结合上可得：

另一方面，按照上图左侧的标注来计算在的正向边界上，结合上，可得：

综合上面两式可得：

又令，即对应上图右侧，结合上可得：

另一方面，按照上图右侧的标注来计算在的正向边界上，结合上，可得：

综合上面两式可得：

最终可得：

（2）再考虑一般的，此时总能被划分为有限个，每个都满足（1）中的要求。比如下图左侧中的，就可以划分为下图右侧中的、、，划分后的每一部分都既是型区域也是型区域，这里还标出了边界的正向及之后会用到的点。

闭区域

划分为、、

按照上图右侧的标注，根据（1）中的结论，可得：

上述三个等式的红色部分沿着直线来回积分，所以将这三个等式相加时红色部分会相互抵消，从而：

上述定理就是格林公式（Green's theorem），该公式说的是，对于定义在上的函数，如下图所示，其中为的取正向的边界曲线。

那么上的可通过边界上的来计算：

2 复连通域中的格林公式

也总能被划分为有限个。比如下图左侧中的，其外边界记作，内边界记作。在下图右侧中，我们将划分为、，这里还标出了边界的正向及之后会用到的点。

复连通域

闭区域、

按照上图右侧的标注，根据格林公式，可得：

上面两式中的深红部分是沿着直线来回积分，浅红部分是沿着直线来回积分，所以将上面等式相加时这两个部分会分别相互抵消，从而：

其中和合起来就是的正向外边界，和合起来就是的正向内边界，并且和合起来就是的正向边界，所以：

也就是说对于定义在上的函数，如下图所示，其中为的取正向的边界曲线。

格林公式也是同样适用的，即上的可通过边界上的来计算：

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