曲线积分的基本定理

马同学

1 曲线积分的基本定理

设是平面区域内的一个，若与都在内，且存在一个数量函数使得，则在内与路径无关（Independent of path），且

其中是位于内起点为、终点为的任一分段有向光滑曲线弧。

设对应的及参数方程如下，其中起点对应参数，起点对应参数：

根据上式可推出上述为：

根据题意数量函数的为，即：

因为与都在内，也就是与都在内，根据，所以是的，从而可运用，得到：

综上，所以：

1.1 第一个方面

上述定理可从两个方面来理解。先说第一个方面，是某有向光滑曲线弧，在其上有，如下图左侧所示。还有数量函数，如下图右侧所示，该数量函数满足。

定义在上的向量函数

定义在上的标量函数

那么上述定理说的就是，只要知道两端的和就可求出，即：

上式还常改写如下：

其中其实就是(这里用到的是之前介绍时得出过的结论)：

改写后看上去和非常相似，所以上述定理也称为曲线积分的基本定理（the Fundamental Theorem for line integrals）。

1.2 第二个方面

再来看看第二个方面，既然只和两端的和有关，这意味着从点出发沿任意的曲线到达点，如下图所示，的值都是相等的，这就叫做与路径无关。

1.3 更高的维度

上述定理还可推广到的情况，若、和都连续，且存在一个数量函数使得，则：

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