先说结论：二阶行列式代表两个向量组成的平行四边形的有向面积，三阶行列式代表三个向量组成的立方体的有向体积。

有向面积（体积）就是既有方向又有大小的面积（体积），有向面积（体积）的值可以为$+,-,0$。

1 二阶行列式

1.1 几何意义

二阶行列式的代数式是，$ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1 $。

其中$a_1b_2-a_2b_1$可以表示为两个矩形的面积差，下面先假设$a_1b_2-a_2b_1>0$：

我们把行列式的每列（每行也是可以的）抽出来，得到两个向量，$\vec{v_1}=\begin{vmatrix} a_1 \\ a_2 \end{vmatrix}$，$\vec{v_2}=\begin{vmatrix} b_1 \\ b_2 \end{vmatrix}$：

两个向量可以组合成一个平行四边形：

平行四边形的面积是等于之前的两个矩形的面积差的，也就是：

原因也很简单，我觉得大家动手自己拼一下也就知道了：

1.2 有向面积

有向面积的值即$a_1b_2-a_2b_1$可以为$+,-,0$：

1.3 相关性质

知道了二阶行列式是有向面积之后，很多性质就很好理解了：

这个一幅图就可以说清楚：

先看看什么是$\vec{v}=\begin{vmatrix} a_1+kb_1 \\ a_2+kb_2 \end{vmatrix}$：

所以：

动手感受一下：

2 三阶行列式

推导方法和二阶基本一样，这里就不再赘述。