这是一个古老的话题，本文会介绍什么是割圆曲线？割圆曲线是做什么的？割圆曲线为什么可以做到？

割圆曲线历史非常悠久，可能是除了圆和直线外，人类画出的第一个曲线（那种无规则的、无意义的曲线不算），也可能是第一个由两种运动所决定的曲线(圆是由一种运动决定的曲线)。

1 割圆曲线的构造

首先，有一个正方形：

然后，以A为圆心，AD为半径做匀速运动（第一种运动）：

然后，CD线段，平行往下做匀速运动（第二种运动）：

这两种运动复合起来的交点的轨迹就是割圆曲线：

这货得看动图才更清楚，我们来看看两种运动的合成吧：

要进一步了解割圆曲线的细节，可以参看 维基百科 ，里面还有割圆曲线的代数方程、参数方程等。

2 有什么用？

古希腊有三大著名的几何问题（具体细节参考 维基百科 ):

• 倍立方问题
• 三等分角问题
• 化圆为方问题

割圆曲线可以解决三等分角和化圆为方这两个问题（唯一的问题是，割圆曲线不能只有尺规画出来）。

3 三等分角

为了证明我不是作弊，所以你自己动手玩一下：

神奇吧，三等分角问题变成了三等分直线问题，这就简单多了。

4 化圆为方

为什么说做出$\sqrt\pi $很困难呢？这个问题要细讲真的说来话长，我简单说一下。

根据古希腊尺规作图的规则（参考 维基百科 ），它要求用一把没有刻度的直尺和一把圆规，允许的操作如下：

• 通过两个已知点可作一直线
• 已知圆心和半径可作一个圆
• 若两已知直线相交，可求其交点
• 若已知直线和一已知圆相交，可求其交点
• 若两已知圆相交，可求其交点

根据这些规则，尺规作图实际上可以完成：加、减、乘、除、开平方这五种运算，我给出一个开平方怎么作图的示意图：

那么问题就变成了，这五种运算是否可以通过组合生成所有的实数（即实数域是否对于这五种运算闭合）？

答案是不行的，这五种运算只能覆盖实数很小的一部分（对的，确实是很小的一部分），其中$\pi $就是不能覆盖到的（$\pi $是超越数），所以化圆为方问题在尺规作图的规则下无解。

那么割圆曲线怎么做到这一点的呢（注意割圆曲线本身是无法用尺规作图作出的）？

有个$\frac{2}{\pi }$之后，问题就简单了。根据之前的描述，我可以通过尺规作图，把$\frac{2}{\pi }$取倒数（除法），得到$\frac{\pi }{2}$，再$\times 2$后开方就可以得到想要的$\sqrt{\pi }$了。