洛必达法则

切线是曲线的近似,洛必达法则进一步佐证了这一点

1 洛必达法则传奇

人这辈子一共会死三次:

  • 第一次是你的心脏停止跳动:那么从生物的角度来说,你死了
  • 第二次是在葬礼上:认识你的人都来祭奠,那么你在社会上的地位就死了
  • 第三次是在最后一个记得你的人死后:那你就真的死了

贵族青年洛必达:

纪尧姆·弗朗索瓦·安托万·洛必达侯爵,1661-1704

大概深深地相信这一点。本来他是一位法国世袭军官,却毅然放弃了光荣的炮兵职务(要是知道点历史,就会明白这有多不容易),投入约翰·伯努利(伯努利这个家族在数学、物理中举足轻重,以后还会遇到)门下学习微积分:

约翰·伯努利(1667-1748)

平时洛必达就支付了高昂的学费供养经济条件不好的约翰。后来赶上约翰要结婚(丈母娘在哪个年代、哪个国家都是要吃人的)缺钱,洛必达支付了500里弗尔(按购买力,折合成现在的人民币估计得差不多200万)购买了一系列伯努利的数学研究成果,其中就包含了让洛必达不朽的洛必达法则。

洛必达把他自己的研究以及购买的学术文章(大部分是他的老师伯努利的),集结成册出版了历史上第一本微积分教科书,书中也明确表示了对约翰·伯努利的感谢:

《阐明曲线的无穷小分析》

以约翰嫉妒的性格,真的是连肠子都悔青了,洛必达死后约翰宣称洛必达法则是他发明的,主流数学家也认可这一点,但是也认可洛必达是付了钱的,所以洛必达法则终究就这么流传了下来。

2 洛必达法则
2.1

假设有两个函数,有,也就是说交于点:

如果在两个函数在点都有切线:

根据之前的学习,我们能接受切线在附近可以近似曲线,即:


那么同样在附近有:

在极限的情况下可以取到等号:

因为,所以这是型的

设:
  • (1)
  • (2)某内,都存在,且
  • (3)存在(或为无穷大)
则:

构造两个函数:

因为,所以:

点连续。任选,那么在内有:

  • 在闭区间上连续
  • 在开区间上可导
  • 有:

满足柯西中值定理,则使得:

根据的构造,上式实际上就是:

对上式两端求极限(因为),注意同时会有,所以可得:

同理,因此:

设:
  • (1)也可以,之后的条件也要相应修改)
  • (2)当都存在,且
  • (3)存在(或为无穷大)
则:

,则时有。因此有:

所以:

2.2

也有洛必达法则:

设:
  • (1)
  • (2)某内,都存在,且
  • (3)存在(或为无穷大)
则:

设:
  • (1)也可以,之后的条件也要相应修改)
  • (2)当都存在,且
  • (3)存在(或为无穷大)
则:

2.3 小结

以下形式的函数:

(再加上一些条件)有:

3 未定式

下面这些式子称为(之所以称为未定式,是因为下面这些式子的极限根据具体的情况不同,可以为任意值):

通过转换之后都可以变为型,然后用洛必达法则进行求解:

当然也可以转为型,取决于怎么算更简便。大部分时候,简单,所以把函数的极限通过洛必达法则转为导数的极限会更容易计算:

例题1

求:

这是未定式,不过可以转换成型,因为:

应用洛必达法则:

例题2

求:

这是未定式.设,取对数得

时,上式右端是未定式,根据前面一个例题的结论,得

因为,而(当),所以

4 洛必达法则的适用性

洛必达法则的目的是简化运算,但是有时候遇到下面这些情况真是哭笑不得。

4.1 无限循环

像这种:

靠洛必达一辈子都算不出来。换种办法就可以求出来:

4.2 越算越复杂

这种:

每用一次洛必达,就像在自己心口戳了一刀。足够聪明的我们,算了差不多十次之后,应该可以认识到就算用尽全世界的草稿纸都无法用洛必达法则拯救这道题。

换个思路,用换元法来解,令

再用洛必达,可以得到极限为0。

4.3 洛必达法则算不出来的极限

比如:

这里只能说明