在初等数学中学习了三角形，四边形，多边形的面积计算：

现在来学习的面积是如何定义的，以及如何计算的：

之前介绍过，要求，之间的曲边梯形的面积：

可以把均分为份，以每一份线段为底，以这一份线段的右侧的函数值为高做矩形：

当的时候，矩形面积和就是曲面下的面积：

那么，能不能以这一份的线段的左侧的函数值为高做矩形？

算一算就知道了。先把均分成份，每份长为，以及各个划分点的坐标如下：

把坐标组成两个集合：

因此，以左侧的函数值为高的矩形和可以如下计算：

同样的道理，可以得到以右侧的函数值为高的矩形和：

当的时候，两者是相等的，它们都是曲边梯形的面积：

之前介绍连续的时候就介绍过狄利克雷函数：

也见识过它的古怪性质。这里也要把它拉出来作一个反面典型。的图像是没有办法画的，非要画也就是这样的：

假设要求内的曲边梯形面积，尝试对进行等分，那么等分点必然为有理数点（下图为了演示方便，调整了下坐标的比例）：

所以这些等分点的函数值必然为1。以1为高，以等分区间长度为底作矩形，可以得到：

这些矩形的和必然为1，可以想象进行等分也依然为1，所以有：

下面换一种划分方式，以邻近的两个无理数作为端点划分区间，这些区间的端点的函数值必然为0，以区间长度为底，0为高，得到的矩形和为：

可见，对于而言，不同的划分区间、不同的高的取法，会导致不同的矩形和：

黎曼是德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。在数学界搞风搞雨的黎曼猜想也是他的杰作。

基于对刚才两种情况：

• 抛物线下的曲边梯形
• 狄利克雷函数下的曲边梯形

的思考，看到不同划分带来的效果，黎曼先发明了黎曼和，进而定义了曲边梯形的面积，也就是定积分。

不一定需要均分为份，可以任意分割：

很显然用于分割区间的点符合：

令，那么集合：

称为的一个。划分定义了个子区间：

称为第个子区间，更一般的被称为第个子区间：

第个子区间的长度为：

对于某一个划分，在其第个子区间内随便选一个数：

以作为矩形的高：

那么矩形的高度也可以是任意的：

根据刚才的讲解，可以得到如下定义：

之前计算的、是黎曼和：

狄利克雷函数中划分出来的矩形和、也是黎曼和。

随着的划分不断变细，所有子区间的长度趋于0时，黎曼和不断地逼近曲边梯形的面积：

这个过程的严格化如下：

回到之前讨论的问题：

• 抛物线下的曲边梯形：，以及各种划分都相等，所以存在，可积
• 狄利克雷函数下的曲边梯形：，所以不存在，不可积

这里新引入的积分符号是莱布尼兹创造的：

其中，代表英文中的求和（“sum”），拉长的则表明积分是和的极限（“limits of sums”）。这个符号相当精练，可以表达非常丰富的信息：