为什么偏导数连续,函数就可微?

多变量微积分里面有这么一个结论:

如果函数的偏导数在点连续,那么函数在该点可微。

下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。

先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

1 连续的含义

通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的:

1.1 没有缝隙

我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙:

如果把曲线看作一条道路的话,那么不管是蚂蚁、人还是自行车,都有能力从左边走到右边:

而不连续的曲线会有断裂:

蚂蚁通过能力太差,就没有办法跨过裂缝:

1.2 另一层含义

从代数上我们可以看到另外一层含义。假设附近某点为,根据连续的性质有:

利用极限的性质可以得到:

因此上式表明,与附近的值相差非常小,这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

2 可微的含义
2.1 单变量函数的微分

一元的情况下,在点可微指的是,在点附近可以用直线来近似曲线,这根直线就是切线:

距离越近,这种近似越好,体现为切线和曲线之间的相差越来越小:

,那么附近曲线与直线的近似可以表示为:

2.2 多变量函数的微分

多元的情况下,就要复杂一些。关于下面内容,想了解更详细的可以参看:

2.2.1 偏导数

首先要对偏导数有所了解。多变量的函数可以是三维空间中的曲面

平面是一系列平面,它们与曲面交于一条条曲线:

很显然,点在这些曲线上运动,是不会变化的,只有会变化:

偏导数所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度(变化率),对于点,知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似,也就是这条曲线的切线,或者称为偏微分:

这种近似关系可以表示为:

同样的道理,偏导数描述的是只有值变化的曲线上的点的速度,假设这样的曲线为,其切线与之的近似关系可以表示为::

2.2.2 微分

多变量的函数点的微分,指的是在点找到一个平面来近似曲面,这就是切平面:

切平面与曲面的近似可以表示为:

上面出现了,这是因为此点的邻域是一个平面(下面用圆来表示这个平面,实际上这个圆可以任意大小):

此圆的半径可以表示为:

2.3 微分与偏微分的关系

很显然,过点,并不是只有方向的曲线(两个方向的曲线的切线就是偏微分):

还有无数别的方向的曲线(随便画了两条):

这些曲线的切线(假如有的话)要在同一个平面,这个平面就是切平面,才叫做可微(详情参考之前给出的参考文章)。

而偏微分只是无数切线中的两条,所以:

比如就是偏导数存在,但是不可微。它的图像是:

点,的交线是下面红色的直线,分别与轴和轴重叠:

因此,在点的偏微分就是轴和轴。但是的交线是: