多变量微积分里面有这么一个结论：

下面来解释这个结论，并且减弱这个结论的条件。

先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义，后面要用到。如果非常熟悉了，可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

通俗来说，用笔作画，不提笔画出来的曲线就是连续的：

我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙：

如果把曲线看作一条道路的话，那么不管是蚂蚁、人还是自行车，都有能力从左边走到右边：

而不连续的曲线会有断裂：

蚂蚁通过能力太差，就没有办法跨过裂缝：

从代数上我们可以看到另外一层含义。假设附近某点为，根据连续的性质有：

利用极限的性质可以得到：

因此上式表明，与附近的值相差非常小，这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

一元的情况下，在点可微指的是，在点附近可以用直线来近似曲线，这根直线就是切线：

距离越近，这种近似越好，体现为切线和曲线之间的相差越来越小：

令，那么附近曲线与直线的近似可以表示为：

多元的情况下，就要复杂一些。关于下面内容，想了解更详细的可以参看：

• 如何通俗的解释全微分？
• 多元函数中全微分与偏导数、偏微分的直观区别是什么？
• 如何理解全导数？

首先要对偏导数有所了解。多变量的函数可以是三维空间中的曲面

平面是一系列平面，它们与曲面交于一条条曲线：

很显然，点在这些曲线上运动，是不会变化的，只有会变化：

偏导数所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度（变化率），对于点，知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似，也就是这条曲线的切线，或者称为偏微分：

这种近似关系可以表示为：

同样的道理，偏导数描述的是只有值变化的曲线上的点的速度，假设这样的曲线为，其切线与之的近似关系可以表示为：：

多变量的函数在点的微分，指的是在点找到一个平面来近似曲面，这就是切平面：

切平面与曲面的近似可以表示为：

上面出现了，这是因为此点的邻域是一个平面（下面用圆来表示这个平面，实际上这个圆可以任意大小）：

此圆的半径可以表示为：

很显然，过点，并不是只有方向的曲线（两个方向的曲线的切线就是偏微分）：

还有无数别的方向的曲线（随便画了两条）：

这些曲线的切线（假如有的话）要在同一个平面，这个平面就是切平面，才叫做可微（详情参考之前给出的参考文章）。

而偏微分只是无数切线中的两条，所以：

比如就是偏导数存在，但是不可微。它的图像是：

在点，与的交线是下面红色的直线，分别与轴和轴重叠：

因此，在点的偏微分就是轴和轴。但是与的交线是：