多变量微积分里面有这么一个结论:
下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。
先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。
通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的:
我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙:
如果把曲线看作一条道路的话,那么不管是蚂蚁、人还是自行车,都有能力从左边走到右边:
而不连续的曲线会有断裂:
蚂蚁通过能力太差,就没有办法跨过裂缝:
从代数上我们可以看到另外一层含义。假设
利用极限的性质可以得到:
因此上式表明,
一元的情况下,在
距离
令
多元的情况下,就要复杂一些。关于下面内容,想了解更详细的可以参看:
首先要对偏导数有所了解。多变量的函数
平面
很显然,点在这些曲线上运动,
偏导数
这种近似关系可以表示为:
同样的道理,偏导数
多变量的函数
切平面与曲面的近似可以表示为:
上面出现了
此圆的半径可以表示为:
很显然,过
还有无数别的方向的曲线(随便画了两条):
这些曲线的切线(假如有的话)要在同一个平面,这个平面就是切平面,才叫做可微(详情参考之前给出的参考文章)。
而偏微分只是无数切线中的两条,所以:
比如
在
因此,在