为什么偏导数连续,函数就可微?

多变量微积分里面有这么一个结论:

如果函数的偏导数在点连续,那么函数在该点可微。

下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。

先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

1 连续的含义

通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的:

1.1 没有缝隙

我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙:

如果把曲线看作一条道路的话,那么不管是蚂蚁、人还是自行车,都有能力从左边走到右边:

而不连续的曲线会有断裂:

蚂蚁通过能力太差,就没有办法跨过裂缝:

1.2 另一层含义

从代数上我们可以看到另外一层含义。假设附近某点为,根据连续的性质有:

利用极限的性质可以得到:

因此上式表明,与附近的值相差非常小,这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

2 可微的含义
2.1 单变量函数的微分

一元的情况下,在点可微指的是,在点附近可以用直线来近似曲线,这根直线就是切线:

距离越近,这种近似越好,体现为切线和曲线之间的相差越来越小:

,那么附近曲线与直线的近似可以表示为:

2.2 多变量函数的微分

多元的情况下,就要复杂一些。关于下面内容,想了解更详细的可以参看:

2.2.1 偏导数

首先要对偏导数有所了解。多变量的函数可以是三维空间中的曲面