艾萨克·牛顿（1643 - 1727），伟大的物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。在2005年更是力压爱因斯坦，被评为“科学史上最有影响力的人”。

牛顿研究微积分，主要还是为了物理上的计算服务的，我们来看下牛顿是怎么推导微积分的

本节会讲到以下一些内容：

• 牛顿的微积分
• 牛顿微积分的一点问题

1 牛顿的微积分

牛顿归纳微积分的整体思路是：

• 证明求导是不定积分的逆运算，即微积分第一基本定理（《高等数学》同济版为求积分上限函数的导数）
• 进而推出牛顿-莱布尼兹公式，即微积分第二基本定理

我们来看看是怎么做的。

1.1 微积分第一基本定理

牛顿尝试证明下面这个结论：

首先我们来看一下$\int _0^ x x^ ndx$是什么？

已知，$x^ n$函数曲线下，$[0,a]$区间的面积为：

如果把上限$a$换为$x$，那么曲线下面积就为一个函数，我们称为积分上限函数：

定义了$F(x)=\int _0^ x x^ ndx$之后，我们来看看牛顿的思路，分为两个步骤：

下面我会分别介绍这两个步骤，从这两个步骤我们可以分别看出：

• 步骤一，推出微积分第一基本定理
• 步骤二，展示一下牛顿是怎么求解导数的

1.1.1 步骤一

在当时，导数这个词还没有，不过有一个等价的词，就是变化率，因此牛顿就从求$F(x)$的变化率出发。为了求变化率，牛顿是这么思考的：

以$B\beta $为底做一个矩形，使得它面积等于$DB\beta \delta $：

可以看出$o$越小，$DB\beta \delta $的面积越接近$of(x)$的乘积，可以拖动$\delta $点试试：

牛顿断言，当$o$足够小的时候，$DB\beta \delta =of(x)$：

即$o$足够小，$F(x)$关于$o$的增量为$of(x)$，根据变化率的定义（牛顿在物理学里面求瞬时速度的时候就是这么算的），可以得到：

$$\dot{F(x)}=\frac{of(x)}{o}=f(x)$$

其中，牛顿称$\dot{F(x)}$（注意头上有个小点）为$F(x)$的流数（这里流数就是指的变化率），也就是现在的导数$F'(x)$。

至此：

实际上到了这里已经得出了微积分第一基本定理：

$$\frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int _0^ x f(x)dx=f(x)$$

从这里可以看出，面积函数$F(x)=\int _0^ x f(x)dx$实际上是$f(x)$的一个原函数，如果改变积分下限的话，可以得到$f(x)$的所有原函数（如果$F(x)$的值域为$\mathbb {R}$的话）：

1.1.2 步骤二

下面就是要计算出$f(x)$等于多少了。

上一节我说过，费马和卡瓦列里计算出了：

$$\int _0^ a x^ ndx=\frac{a^{n+1}}{n+1}$$

替换一下就可以得出：

$$\int _0^ x x^ ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

基于此结论，牛顿继续推了下去（二项式指的是$n$为自然数，而广义二项式指的是$n$为有理数，广义二项式公式是牛顿非常得意的一个数学推论）：

证明完毕：

1.2 牛顿-莱布尼兹公式

顺着积分第一基本定理出发，要推出了大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式（微积分第二基本定理）就很容易了。

也就是:

积分第二定理最大的意义是大大简化了运算。

比如在有这个公式之前，已知$\int _0^ a x^ ndx=\frac{a^{n+1}}{n+1}$，并且有$\displaystyle sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^ k}{(2k+1)!}z^{2k+1}$（牛顿当时计算出了这个$sin$的幂级数展开），所以要计算$sin(x)$的积分，就需要对$sin(x)$的幂级数逐项积分，然后计算级数的和，这是非常需要技巧的。

1.3 手稿

下面是牛顿的手稿，可以让我们看看微积分青涩的模样：

一门学科草创之初，其实是非常混乱的。上面的证明过程都是我用现代语言该写过的，否则看起来还是挺费劲的。实际上微积分还要过两三百来年才能变得接近现在的模样，更加通俗易懂。

2 牛顿微积分的一点问题

牛顿的推导中有一个致命的问题，在之前推导$f(x)$到底是多少的时候：

但这个问题超越了当时所有数学家的能力极限，需要在很久以后才得到真正的解答，我们先来看看可以解决的另外一些问题。

牛顿的微积分是从微积分第一基本定理开始的：

$$\frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int _0^ x f(x)dx=f(x)$$

进而推出了以下一些概念：

• 导数：变化率
• 不定积分：导数的逆
• 定积分：也就是曲线下面积，通过不定积分来进行计算

但是牛顿有三个问题没有给出答案，其一：

其二：

其三：

是不是所有原函数都可以写成积分上限函数？

2.1 问题一

因为积分上限函数是定积分的推广，所以$f(x)$可积，则$F(x)=\int _0^ x f(x)dx$存在。

我们现在知道，《高等数学》同济版给出了两个可积的充分条件：

• 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可积
• 设$f(x)$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在$[a,b]$上可积

至于充要条件，我会在这个系列文章的最后给出。

2.2 问题二

笼统来说，如果$f(x)$连续，则$F(x)=\int _0^ x f(x)dx$可导。

更进一步，可以通过下面的原函数存在定理来证明。

当然第二类震荡间断点的$f(x)$是可能有$F(x)$，比如：

$$f(x)=\begin{cases} 2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0 \end{cases}$$

其原函数为：

$$F(x)=\begin{cases} x^2sin\frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0 \end{cases}$$

。

2.3 问题三

下面这个函数就是有原函数，但是没有积分上限函数的：

$$f(x)=\begin{cases} \frac{4x^\frac {1}{3}sin\frac{1}{x}}{3}-\frac{cos\frac{1}{x}}{x^\frac {2}{3}},x\ne 0\\ 0,x=0\end{cases}$$

它的图像是：

从图像上大概可以知道，$f(x)$在$[-1,1]$之间是无界的，所以不可积。

但是它确实有原函数：

$$f(x)=\begin{cases} \frac{4}{3}xsin(\frac{1}{x}),x\ne 0\\ 0,x=0\end{cases}$$

3 总结

要解决积分上限函数的种种局限性，我们只需要给出一个更好的定积分定义，这个就需要由下一章节出场的大师来给出了。