如何理解对数?

计算器发明之前,炮兵打个炮啊、工程师修个桥啊、设计师造个飞机啊,都离不开对数。
宫崎骏的电影《起风了》,里面的主角是一个飞机设计师,绘制图纸的时候总是手里拿了一个长条状的东西:
这是什么东西?拿来干什么用的?还得从对数说起。
1 在数轴上表示对数
1.1 数轴和加法
数轴上的数和后继的数之间是的关系,。我们把它称为坐标系吧。
的关系变成,数轴上的就全是偶数了。数轴还是那根数轴,可是坐标系变了,我们把它称为坐标系吧。
坐标系中,上面的蓝色的字表示真实的数值,下面的灰色的数字表示顺序,也就是说序号为0的数值是0,序号为1的数值是2,序号为2的数值是4。坐标系也有序号和数值,只是刚好都相等。
坐标系到坐标系有什么变化?只是简单的放大了一下数轴的尺度。
1.2 数轴和乘法
我们试试把加法数轴变为乘法数轴(这点是没有什么问题的,加法和乘法等价的,即乘法完全可以被加法替代),当然要从1开始计算,因为从0开始的话,乘法的结果永远是0。
这种数轴我把它称为坐标系。
1.3 数轴和对数
坐标系其实和对数有关,我们看下:
灰色的数字就是对数了,稍微修改下看得更清楚:
按照现在的术语,坐标系其实就是指数坐标系。但是,在刚出现的时候,其实坐标系和坐标系没啥区别,所以当时的人也没有区别对待,更没有给出指数这个名字。
数学家其实是很吝啬的,没有那么容易就给出命名,必须得有充分的理由。可以参看下虚数是否真实存在中的一些思考。
说回来,8的对数就是距离1有几个格子,这里是3个格子,可以推出8的对数是3。所以有种简单的计算8的对数方法,,除了3次,对数就是3。
,所以
也可以这么计算,有,除不尽有个余项,而,所以可以求出。呃,似乎运算已经比较复杂了,不如用计算器了。
求两个数之间的关系也比较简单,比如8和4,4距离1两个格子,8距离1三个格子,所以
2 对数数轴与天文数字
2.1 对数数轴
我们要是想把为坐标系继续画下去是困难的,因为指数增长太快了:
尽量缩小才画到对数为5的地方,我相信你已经快看不清了,如果画到对数为100的地方,地球都摆不下这个长度。
我们可以保持对数值等距离摆放,这就是对数坐标系:
是不是可以摆下更多的对数了?
2.2 天文数字
对数是将数轴进行强力的缩放,再大的数字都经不起对数缩放,如果我选用10为底的话,一亿这么大的数字,在对数数轴上也不过是8。这对于天文学里的天文数字简直是强有力的武器。
要是不进行缩放的话,地球和太阳是不可能同框的:
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3 对数尺
3.1 乘除法
我们把对数坐标系中剩余的数字补齐:
其实绕了这么一大圈,就是把对数值给摆在了数轴上,不过历史可能就是这么曲折,要知道历史发展到这一步都还没有给对数一个名分。什么时候给的名分我们后面再说。
因为符号太累赘了,所以我们把它去掉,心中知道是就好了:
我们把这个刻在一把木尺上就得到了一把对数尺:
对数尺有什么用?我们可以很简单的来计算乘法,下面是计算(记住,对数尺的起点是1,不是0):
有一个很重要的特性,,所以对数尺可以用加法的方式来计算乘法(在这里以什么为底不重要,只要是同底就可以)。而,所以可以通过减法计算除法。
如果对数尺上的坐标可以标细一点,就可以计算类似这样比较复杂的乘法。
3.2 幂与开方
对数尺还可以进行幂运算和开方运算,下面计算
,所以对数的处就是对数的平方根,以此类推可以计算次方根。注意对数尺的起点是1哦,不是0。
计算也一样轻松(这里尺子的刻度不太细,不过估读出来是2.0x):
3.3 亲自动手
我们自己来把玩下对数尺吧:
Created with GeoGebra
3.4 对数和对数尺的重要性
16世纪,苏格兰人纳皮尔,用类似上面文章描述的思路(细节很不一样,不过方向是相同的),发明了对数这个词,他把对数称为人造数。而当时还没有完整的指数概念,直到17世纪末人们才认识到对数是指数的逆运算。
对数发明之后,在当时的科学界造成了很大的影响,专门有人长途跋涉跑来见纳皮尔,就为了表达感谢。天文学家欣喜若狂:“对数让计算时间缩短从而延长天文学家的寿命”。伽利略也说过:“给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙”。
刚开始对数的运算是通过查对数表来完成,后来,更方便的对数尺也出现了,这就是最早的计算尺。
3.5 计算尺
最早的计算尺就是对数尺,随着时间的推移,对数尺增加了很多别的数学工具,演化成了威力更大的计算尺。上面除了有对数、还有三角函数、倒数等等数学工具,可以查看计算尺,或者三百年辉煌,计算尺传奇了解更详细的信息。
文章开头《起风了》的主角手里拿的就是计算尺:
在计算器发明之前,炮兵打个炮啊、工程师修个桥啊、设计师造个飞机啊,都离不开计算尺。
没有计算尺之前,人类社会是匍匐前进,有了计算尺之后,是走步前进。而计算器、计算机出现之后,真正是跑步前进。
历史的车轮总是向前,计算尺的历史使命已经完成,这篇小文只是尝试让大家短暂的回到过去,体验一下对数、对数尺、计算尺的重要性。
4 结论
对数是作为一个数学工具出现,主要解决两方面的问题:
  • 处理天文数字。
  • 简化乘、除、开方、乘方运算。
这两个作用,让对数这个数学工具与,产生了本质区别,也有了拥有“对数”这个名字的资格。
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