微积分历程之伯努利兄弟
经过牛顿和莱布尼茨的努力，让人们对求曲面的面积有了一些认识。在当时，积分就是求面积。而求面积就是通过微分的方法，将无穷多个极小的面积相加。
无穷多个数相加在今天我们将它称之为无穷级数。如何计算无穷级数就成了当时的一个热门话题。
在莱布尼茨提出变换定理后不久，数学界的一对天才，伯努利兄弟就对级数中，两个重要的问题给出了自己的答案。
首先是哥哥雅各布·伯努利对调和级数的贡献。
这是它的数学表达式。
这个级数名字源于泛音及泛音列（泛音列与调和级数英文同为harmonic series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。
调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数.
二数的调和平均数为:
也就是说。
在我们的直觉里，无穷级数的一般项缩小至零，则级数收敛。但事实真的是这样吗？
3.1 等比数列与等差数列
如果
3.2 等比数列求和
在任意有限项等比数列
准备工作做完了，可以开始来证明了。
4.1 思路
伯努利的证明思路与我们现在类似，他要证明，不论级数中的项
4.2 证明过程
假设从第
此时的分母
此时构造一个与等差数列数列前两项相同的等比数列
这样根据之前等比数列与等差数列的关系，得到：
再根据之前的等比数列的求和公式,将
这与之前的
因此从调和级数的任何一项开始，其剩余部分的某个有限项的和必然超过1或者更大
也就是说，调和级数可以写成：
雅各布·伯努利通过证明调和级数发散，向世人宣布
即使无穷级数的一般项缩小至零，也不足以保证级数收敛
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