约翰·伯努利（1667－1748）。

雅各布·伯努利（1654 －1705）。

世居瑞士的伯努利家族是祖传的数学世家，三代人中出了八位了不起数学家和科学家，其中雅各布·伯努利和约翰·伯努利在微积分的发展中扮演了领导的角色。

雅各布和约翰都是莱布尼兹的学生和朋友，通过莱布尼兹接触到了微积分之后，他们在一片混乱中，理清了条理、统一了术语（“积分”就是雅各布最先使用的）、建立了各种微积分技术，在他们手里，微积分这门学科变成了易于接受的形式（约翰书写了第一本微积分教材）。

虽然在约翰毕业之前，雅各布曾与约翰一起共事，毕业后不久，两兄弟逐渐产生了一种嫉妒与竞争的关系。约翰嫉妒雅各布在大学里崇高的位置。在大庭广众下或私底下，两兄弟时常互相较劲。雅各布过世后，约翰的忌妒又转移到丹尼尔，他的天才儿子。1738年，父子两几乎同时地发表了各自在流体力学的研究成果。约翰故意将自己作品的完成日期提前，使它比儿子的日期还早两年，这样他便能获得优先的荣誉。

在举世瞩目的牛顿-莱布尼茨辩论中，约翰站在莱布尼茨这一边，对牛顿发起激烈的挑战，甚至声称牛顿没有发明微积分，而且从来没有理解微积分。由于约翰对于牛顿的反对，牛顿理论在欧洲地广泛接受被拖延了很久。

有了技术，微积分的应用才会更加广泛，下面我就讲解由伯努利兄弟发展起来的几个重要的微积分技术。

1 链式法则

知道$ln(x),sin(x)$的导数怎么计算，但是$ln(sin(x))$怎么计算呢？

链式法则可以解决这个问题，大大提高了求导的效率，我们只需要知道几种基本函数的求导法则，就可以回答更多复杂的问题。

约翰·伯努利（1667-1748）在1697年发表的一篇论文中提到：“一个对数函数无论多么复杂，它的微分等于函数表达式的微分除以表达式”，比如：

$ln(sin(x))=ln'(sin(x))sin'(x)=\frac{1}{sin(x)}cos(x)$。

其实这也就是我们现在所说的链式法则的雏形（牛顿、莱布尼兹都对链式法则有运用，但是真正被明确提出和表述要等到拉格朗日）。有了链式法则，计算导数就容易了不少。

我这里说下怎么理解链式法则，以及链式法则容易出现的理解误区。

1.1 通过物理模型来理解链式法则

我们通过理想齿轮和皮带传动这样一个物理模型来理解链式法则：

解释一下，上面动画中，有三个齿轮，其中$x$齿轮自己有动力，我们可以把它看作自变量，而$u$齿轮和$x$齿轮通过皮带连接起来的时候，$u$的转动就和$x$相关了，所以$u$可以看作是$x$的函数，所以$u$的转动速度和$x$的速度相关（根据物理知识，还跟两个齿轮的半径比值有关）。$\frac{du}{dx}$就是$u$的速度相对于$x$速度的变化率（说人话就是$u$速度是$x$速度的几倍）。而连接$y$和$u$的皮带的话就相当于建立了一个复合函数。

观察并操作上面的动画，容易看出：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$，可以对链式法则建立直观印象。

1.2 理解误区

链式法则本身还是很好记忆的，尤其是这种形式：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$，感觉$du$仿佛可以消去一样：

这种理解是错误的，这只是一个巧合。两个$du$并非同一个函数。

注意这两幅图的坐标是不一样的。

自然无法消去，只是看起来好像可以消去：

1.2.1 一阶微分不变性

一阶微分不变性实际上和链式法则是等价的。我们回头来看看刚才横坐标为$u$的图：

1.3 小结

在一阶求导、积分的时候，把$du$看作可以消除的量似乎运转的很好，但是这些都是巧合（或者说是微积分符号设计上的巧妙，这得归功于莱布尼兹）。虽然这种误解有助于我们记忆某些定理、公式，但我们一定要知道为什么？

否则我们就会奇怪为什么隐函数$F(x,y)=0$的求导法则是：$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$了。

2 洛必达法则

洛必达法则其实是约翰·伯努利发明的，据说当时约翰刚结婚缺钱（丈母娘在哪个年代、哪个国家都是要吃人的），而贵族富二代洛必达喜欢数学，但是又出不了成果，于是支付了500里弗尔（按照购买力，折合成现在的人民币估计得差不多200万）购买了一系列伯努利的数学研究成果，其中就包含了让洛必达不朽的洛必达法则。以约翰嫉妒的性格，真的是连肠子都悔青了，洛必达死后约翰跳出说洛必达法则是他发明的。大家说，好的，是你发明的，但是人家都付了钱了。西方看来自古以来知识产权保护的就很好啊。

洛必达法则之所以赫赫有名，是因为它大大简化了极限的求简，是非常顺手的数学神器。

之前我写过一篇从参数方程的角度理解洛必达法则的文章： 洛必达法则 ，下面我要讲解一个可能更直观的理解洛必达法则的方法。这个方法我更喜欢，它体现了微积分的核心思想“以直代曲”。

2.1 定义

先给一个不严格的定义，洛必达法则就是在$0/0$型和$\infty /\infty $型时，有${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$。

下面我们来研究下$0/0$型如何直观理解。

2.2 切线方程

之前说了$dy=f'(a)dx$，很显然这是一个过原点的一条直线，我们要把它移到A点来：

所以，容易得出切线函数是$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$（熟悉直线的点斜式也很容易写出这个函数）。

2.3 洛必达法则与线性逼近

我们说切线是曲线的线性逼近，所以：

那么把A点移到$(0,0)$点呢（此时$f(x)$在$A$点处就是$0$型函数）：

如果，$g(x)$也是A点处的$0$型函数：

那么问题就简单了：

$$\frac{f(x)}{g(x)}\approx \frac{f'(0)x}{g'(0)x}=\frac{f'(0)}{g'(0)}\\ \implies \frac{f(x)}{g(x)}\approx \frac{f'(0)}{g'(0)}$$

。

从几何上我们可以看到，离A点越近，切线就越接近曲线：

数学里面的极限$lim$就是表示无限的接近，所以我们有：

$$\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(0)}{g'(0)}$$

这就是洛必达法则。

注意，这里有点不严格，此处默认了$f'(x)$在0点处连续。洛必达法则的实际形式应该是：

$$\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

那么$f(x)$、$g(x)$函数值的零点并不在$(0,0)$点呢，而是在$(a,0)$点呢（此时$f(x)$在$A$点处也是$0$型函数）：

所以，同样在$A$点附近有：

$$\frac{f(x)}{g(x)}\approx \frac{f'(a)}{g'(a)}$$

。

那对于无穷型怎么办呢？$f(x)$和$g(x)$都是$\infty $型，做一个变换：

$\frac{f(x)}{g(x)}\implies \frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}$，$\frac{1}{f(x)}$和$\frac{1}{g(x)}$又是$0/0$型了。

2.4 小结

洛必达法则不过是“以直代曲”的一种应用，一种特殊情况，我们更应该把握数学思想，举一反三，而不是困囿于法则本身。

3 无穷级数

雅各布·伯努利和微积分相关的工作除了各种整理工作外，就是对各种无穷级数的求和，比如计算出像这样的$\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{k^3}{2^ k}=26$结果，因为比较偏技术，这里就不深入讲解了。

我们在高等数学里面也会学到无穷级数，分析是收敛还是发散，收敛的话值是多少，下面我简单介绍一下为什么要研究无穷级数，因为无穷级数的应用实在太广了，主要挑几个和微积分相关的原因。

3.1 数学的基本元素

无穷级数实际上是数学最基本的元素，比如说我们对$x^ x$进行积分：

$\displaystyle \int {x^ xdx} = \int {e^{\ln x^ x}dx} = \int {\sum _{k=1}^{\infty }\frac{x^ k\ln ^ k x}{k!}}dx$

只能通过泰勒级数展开为无穷级数，然后逐项积分，最后积出来的结果还是一个无穷级数。

所以说无穷级数其实是数学的基本元素，有些问题是没有办法绕开无穷级数的。

3.2 积分的基础

之前说过，莱布尼兹时代的积分的基本思想就是把面积切成无穷多个矩形，然后相加：

因此当时在求解积分的时候会遇到大量的无穷级数的计算，雅各布、欧拉都是无穷级数计算的大师。

当时为了简化计算，就把他们的计算结果编撰为积分表，我们现在有计算机了，自然用不上这种东西了。

3.3 泰勒级数

无穷级数最突出的代表就是泰勒级数，这个我们下次来讲。