马同学

微积分的历史（五），发展之泰勒公式（上）

马同学高等数学
布鲁克·泰勒（1685－1731），英国牛顿学派的代表人物，曾经加入判决牛顿和莱布尼茨微积分发明权的委员会。因为发明了泰勒公式而名垂青史。
先来看看泰勒公式是干什么？
1 泰勒公式是干什么的？
之前说过，切线是曲线的线性近似（下面g(x)是函数f(x)=e^x在0点处的切线）：
很明显，切线的近似只能在切点附近起作用，能不能让这种近似的作用范围更大？有的，就是通过曲线来近似：
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上面其实就是泰勒公式公式在不同阶展开的效果，展开的多项式越多近似效果越好。
所以泰勒公式简单来说，就是用幂级数来近似原来的函数（为什么要这么做？因为幂级数研究起来更简单）。
但是，为什么幂级数可以起到这样的作用？这要从牛顿插值法说起。
2 牛顿插值法
在17、18世纪，由于天文、航海的发展，数学一个很重要的问题就是插值。
什么叫插值？插值是数学领域数值分析中的通过已知的离散数据求未知数据的过程或方法。
听起来很抽象？没关系，我们来看下具体的问题。
比如天文学家开普勒观察火星运行之后记录（下列数字纯属虚构）：
  • 周一，火星距离太阳3万公里
  • 周二，火星距离太阳6万公里
  • 周三，雾霾，没有观测数据
  • 周四，火星距离太阳5万公里
  • 周五，火星距离太阳7万公里
要想知道周三的数据，我们先把这个数据变得数学一些：
  • x=1，y=3
  • x=2，y=6
  • x=4，y=5
  • x=5，y=7
求x=3时，y=?
这个题怎么做？
2.1 插值
根据常识，火星一定是连续运动的，会形成一个运动轨迹。而我们现在已知的4个点，必定在这个运动轨迹上。
所以根据这4个点，我们随便猜测一个运动轨迹：
轨迹求出来之后，那么我们要求求x=3时，y=?就好办了：
同时穿过这4个点的曲线有无数多条，所以我们也有很多的插值方法。
2.2 线性插值
这是最简单的插值：
这种近似太粗糙，我压根不需要x=1,x=5的数据，我只需要x=2,x=4的数据，两点决定一根直线嘛。
何况老司机开普勒也知道，火星不可能像撞球一样折线运动，所以这种插值方法pass。
2.3 多项式插值
很早数学家就知道多项式可以形成各种曲线了，所以用多项式来插值也是很自然的想法。
2.3.1 线性方程
我们现在有4个已知数x=1,y=3、x=2,y=6、x=4,y=5、x=5,y=7，可以联立方程组求出f(x)=a+bx+cx^2+dx^3这个三次多项式的参数a,b,c,d：
\begin{cases} 3=a+b+c+d\\ 6=a+2b+4c+8d\\ 5=a+4b+16c+64d\\ 7=a+5b+25c+125d \end{cases}
这样求出的三次多项式（如果有唯一解的话）一定同时经过已知的四个点。
不过线性方程组在实际应用中，直接进行求解有两个重大的问题：
  • 计算量大，对于行星观测而言，几万、几十万观测数据轻轻松松，就算有计算机帮忙，也会面临效率问题
  • 新增加一个点的观测数据，整个计算就要重新来过，想想就很悲伤
为了解决这两个问题、尤其是后一个问题，我们有了牛顿插值法。
2.3.2 牛顿插值法
牛顿插值法全名是格雷戈里-牛顿公式，格雷戈里和牛顿分别给出了这个插值公式，主要牛顿太耀眼了，所以格雷戈里都被大家忘了。
有关牛顿插值法的内容发表在大名鼎鼎的《自然哲学的数学原理》的第三卷的引理五：
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2.3.3 几何意义
这里叫做牛顿插值法的几何意义不太贴切，因为若干点决定的多项式往往是唯一的（这个就是在线性代数里面的问题了），所以从几何上你看不出背后是用的牛顿插值法还是直接解线性方程组。
下面我是画的图像背后的算法是牛顿插值法，仅供大家直观感受下插值法的效果：
随着已知的点越多，可能我们拟合出来的曲线越精确，可以自己动手试试：
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2.4 牛顿插值法的极限就是泰勒公式
让我们把牛顿插值公式和泰勒公式的图像做一个比较。
根据观察，我们得到结论：
  • n点插值对应泰勒公式的n-1阶展开
  • 插值点之间距离越近，插值曲线和泰勒公式越接近，所以我们可以说插值曲线的极限形式就是泰勒公式。
没有跟上？没关系，自己动手试试就知道了：
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2.5 小结
牛顿插值法的目的就是通过有限的点来近似原函数，当它在极限的情况下就是泰勒公式，所以泰勒公式可以近似原函数。
3 牛顿插值法与泰勒公式的代数推导
3.1 牛顿插值法
假设已知n+1个点相对多项式函数f的值为：
(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)), \cdots ,(x_n,f(x_n))
求此多项式函数f。
为了避免大家在后面的阅读中迷失，我先把思路列出来一下（其实不复杂，主要是符号看着眼晕）：
观察b_1,b_2的特点，不断重复上述过程，就可以得到牛顿插值法。
先从求满足两个点(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1))的函数f_1(x)说起：
假设f_1(x)=f(x_0)+b_1(x-x_0)，令f_1(x_1)=f(x_1)：
\begin{aligned} &\implies b_1=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} \\ &\implies f_1(x)=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0) \end{aligned}
现在我们增加一个点，(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))，求满足这三个点的函数f_2(x)。
假设f_2(x)=f_1(x)+b_2(x-x_0)(x-x_1)，令f_2(x_2)=f(x_2)：
\begin{aligned} &\implies b_2=&&\frac{[\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}] - [\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}]}{x_2 - x_0} \\ &\implies f_2(x) = &&f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0) \\ & &&+\frac{[\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}] - [\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}]}{x_2 - x_0}(x-x_0)(x-x_1) \end{aligned}
b_1,b_2看起来蛮有特点的，我们把特点提炼一下。
一阶均差：
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j},i\ne j
二阶均差是一阶均差的均差：
f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[i,j]-f[j,k]}{x_i-x_k},i\ne j\ne k
三阶均差就是二阶均差的均差，以此类推，我们得到牛顿插值法为：
\begin{aligned} f(x) =& f({x_0}) + f[{x_0},{x_1}](x - {x_0}) \\ & + f[{x_0},{x_1},{x_2}](x - {x_0})(x - {x_1}) +\cdots \\ & + f[{x_0},{x_1}, \cdots ,{x_{n - 2}},{x_{n - 1}}](x - {x_0})(x - {x_1}) \cdots (x - {x_{n - 2}})(x - {x_{n - 1}}) \\ & + f[{x_0},{x_1}, \cdots ,{x_{n - 1}},{x_n}](x - {x_0})(x - {x_1}) \cdots (x - {x_{n - 1}})(x - {x_n}) \end{aligned}
计算通过下面这个示意图进行，就会很简单：
新增一个点，只需要计算相关的差分就可以了：
3.2 泰勒公式
之前说过泰勒公式是牛顿插值法的极限形式，极限体现在不断的减小插值点的距离，就可得到了泰勒公式。
首先，设f(x)是一个函数，它在x_0,x_0+\Delta x,x_0+2\Delta x,x_0+3\Delta x,\cdots,x_0+n\Delta x的值已知（和之前的相比，相当于每个点都是等距离间隔的，间隔\Delta x）。
引入一些新的符号，下面的式子称为一阶差分：
\Delta f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)
\Delta f(x_0+\Delta x)=f(x_0+2\Delta x)-f(x_0+\Delta x)
\Delta f(x_0+2\Delta x)=f(x_0+3\Delta x)-f(x_0+2\Delta x)
二阶差分（为一阶差分的差分）：
\Delta^2 f(x_0)=\Delta f(x_0+\Delta x)-\Delta f(x_0)
三阶差分：
\Delta^3 f(x_0)=\Delta^2 f(x_0+\Delta x)-\Delta^2 f(x_0)
有了这些符号后来看看之前提到的b_1会变成什么样子：
b_1=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\implies b1=\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}
而f_1(x)会变成：
f_1(x)=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)\implies f_1(x)=f(x_0)+\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}(x-x_0)
同样的f_2(x)就变成了：
f_2(x)=f(x_0)+\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}(x-x_0)+\frac{\Delta^2 f(x_0)}{2\Delta x}(x-x_0)(x-x_1)。
泰勒断言，当\Delta x=0时（相当于把所有点都包含进来进行插值）：
f_1(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
注意到\Delta x=0时有x-x_1=x-x_0：
f_2(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2
以此类推，大名鼎鼎的泰勒公式就出现了：
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots
好了，泰勒公式我们推导出来了，之后就让我们来细细研究下泰勒公式。
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