如何通俗地理解群论?

群论,描述对称的工具。
群论不简单么?一个集合和一个二元运算,并且满足群论四大公理。黑纸白字,没有一个符号、一个汉字是我不认识的。经过这么多年的数学训练,加上刷题,那是想证明就证明、想计算就计算,砍瓜切菜、手起刀落、猛虎下山、势如破竹。
但是!我很不爽,这种感觉好比有人叫你去砍人,你也不问问为什么,一言不合就出手把人砍翻在地,或者被人砍翻在地,这种行为我们一般把它成为脑残,你的身份就是别人的小弟。
我们不要做数学的小弟,刷题不能给我们自由,唯有思考可以。
下面就讲一下我对群论的一些思考。
1 集合
讲群论先从集合讲起,集合简单来说就是把一堆东西放在一起(暂时就别提罗素悖论了):
可是这用处不大啊,东西之间得有相互作用才能更好的描述世界啊:
东西我们把它称之为对象,对象之间的互相作用我们称之为操作或者运算。
自然数是一个集合,我们从自然数这个集合出发,通过运算可以创造越来越大的集合(分别是自然数、整数、有理数、实数、复数):
运算不止加减乘除,数学学到后面就多了很多抽象运算。甚至从集合和运算的角度来看,学数学的过程很多时候就是在不断的扩大对集合和运算的认知。理解的集合和运算越多,相关领域的数学基本上也就理解了。
其中有种特殊的集合+运算就是群。
2 群
简单来说,群的作用是描述对称。
2.1 什么叫对称?
我们来看看:
  • 正方形对称吗?
  • 物理定律对称吗?
  • 多项式的根对称吗?
上面的问题的答案都是:对称!
对称就是:“某种操作下的不变性”,关键字是两个:“操作”和“不变性”,要说明这点让我们通过上面的三个问题来理解。
2.1.1 正方形是否对称?
先看看正方形,其实它对称是蛮明显的,符合我们日常的语义,可是我们也要把它放到数学的语境里来分析一下:
围绕中心点旋转这个操作,正方形所具有的不变性就是对称。
我们换一种操作,正方形也可以对称:
围绕中垂线这个操作,正方形也具有不变性,也是一种对称。但是因为操作变了,所以这种对称和上面的那种对称不是同一种对称,之后我会再说到这个问题。
假如刚才的正方形只是桌子的桌面,继续围绕中垂线翻转这个操作就不对称了:
2.1.2 物理定律是否对称?
这个听起来就有点奇怪了,但是从不变性的角度出发,相对于时间流逝这个操作,物理定律保持不变,我们可以说物理定律相对时间对称。相对于空间改变这个操作,物理定律保持不变,我们可以说物理定律相对空间对称:
这听起来蛮哲学的,不是说数学学到后面都是哲学吗?
物理我属于民科水平,大家可以参看对称性----维基百科
2.1.3 多项式的根是否对称?
说明下,多项式方程指的是形如这样的方程。
群论就是从解多项式的根开始发展起来的,所以自然要谈一下为什么多项式的根具有对称性。
首先要从简单的一元二次方程说起:
从上图中来看,相对于运算,多项式的根互换之后结果不变,针对这个运算它们是对称的。对于运算就没有对称性。
这个对称性有什么用?根据韦达定理,一元二次方程,其中,系数是已知的,实际上我可以联立这样的二元方程组求得方程的根。
所以顺便说一下,群论的发展过程是这样的:
关于伽罗瓦与一元五次方程的问题,与群紧密相关,但是又涉及到更多别的知识,本文就不继续推下去了。
2.2 对称如何用数学表示?
让我们从正方形开始解读如何来表示对称.
之前说过,对称最重要的是在“某种操作下的不变性”,所以我们先讨论正方形围绕中心点旋转,总共有4种对称操作:
或许你觉得应该不止4种操作,比如转两圈,这可以等价于“保持不动”,而转45°,这会导致不对称(因为你会明显发现变化)。
起始点是完全不用关心的:
甚至是不是正方形也不重要:
是的,群只关心对称最本质、最抽象的性质。所以我们只关心操作,只需要把操作放到集合里。
要放进去我们必须要把操作给数学化,也就是符号化,我们起码有两种符号化的选择,类比于加法或者乘法:
稍微解释一下,什么叫做类比于加法?比如我们通过类比于加法得到,“保持不变”映射为了0,“旋转90°”映射为了,而两个操作的依次进行映射为加法。所以“保持不变” + “旋转90°” = = “旋转90°”,是合理。而“旋转90°” + “旋转90°” = = “旋转180°”,也是合理的。注意,运算不需要符合交换律。
还要说明的一点是,这里的加法和乘法是模加法、模乘法,类似于钟表,按照12小时制算,
这样我们就得到了两个群,一个是,一个是。但是我们明明知道它们应该是一样的啊,只是符号不一样,运算不一样,所以我们可以称之为同构,就是结构相同的意思。
这里先用到群的解析式了,下面就要解释一下。
2.3 群的定义
先祭出大杀器,群的标准定义:

群是一个集合,连同一个运算"",它结合任何两个元素而形成另一个元素,记为。符号""是对具体给出的运算,比如整数加法的一般占位符。要具备成为群的资格,这个集合和运算必须满足叫做群公理的四个要求:

  • 封闭性:对于所有,运算的结果也在中。
  • 结合性:对于所有中的,等式 成立。
  • 单位元:存在中的一个元素,使得对于所有中的元素,等式成立。
  • 逆元:对于每个中的,存在中的一个元素使得,这里的是单位元。

维基百科

数学是自然科学的语言,和日常的说话相比最大的优点是精确没有歧义,缺点就是晦涩不好理解。群的定义也是这样,下面我们用人话来解释群。
套用正方形的例子来解读群的定义,选这个群吧:
  • 集合里的对象:所有保证对称性的操作。
  • 二元运算:模加法。
  • 封闭性:操作相加还是在集合内,比如
  • 结合性:
  • 单位元:保持不动就是单位元,映射为0,所以
  • 逆元:首先旋转正方形的操作是可逆的,所以,同时这还是一个循环的运算,,都可以说是的逆元。
其实吧,我可以再抽象一点,,这个群基本上已经没有原来正方形旋转的影子了。群比我们之前学的数学的抽象性更近了一步,要不怎么放在抽象代数课程里面呢?本文只是想稍微让群具体一点。
2.4 群的结构与同构
之前说过,正方形围绕中垂线翻转是不一样的对称:
上图我把运算直接表示为""。这个群很明显和正方形围绕中心点旋转的群不一样,所以对称也就不一样,用群的术语来说就是,这两种群结构不一样。
现实中,还有各种各样的对称,比如正方形和圆: