之前在“复数，通往真理的最短路径”中说过，复数域其实就是二维的数域，提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看，我们是怎么从实数域扩展到复数域的。
大家可能觉得这个扩展并不复杂，也就是
但数域的扩张从来没有这么简单，就好像夫妻生下小孩只是个开始，困难的是之后的抚养、教育：
复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬：
这句话虽然是说微积分（数学分析）的，但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼：
来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张，我都有种大爆炸的画面感，宇宙从一个奇点爆炸中产生：
数学刚开始也是一片空白：
0的出现就是数学的奇点：
根据皮亚诺定理（可以参考为什么1+1=2？）“爆炸”出了自然数域（可以参考自然数是否包含0？）：
很显然上面的图像是不对称的，哪怕出于美学考虑，人们都有冲动把左边补齐，增加负数，这样就得到了整数域：
添加负数之后，有一个问题就出现了：
我们知道
我们添加负数之后，希望这个规则依然适用，即：
更一般的有：
并且还惊喜地发掘出负数次方的意义，如果说正数次方是对乘法的缩写，那么负数次方（正数的相反数）是对除法（乘法的逆运算）的缩写：
很显然整数之间还有很多空隙，我们可以用有理数（rational number，翻译为“可比数”更合理）：
来填满这些空隙（示意图）：
还有空隙，最终用无理数（irrational number，“不可比数”）来填满这些缝隙，得到实数轴：
自然会有这么一个问题：
往下面讲之前，稍微复习下复数的一些基础知识。
复数的运算规则并非凭空捏造的。开头提到的文章“复数，通往真理的最短路径”说过，形如：
的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：
如果
从图像上看，