“函数可导，其导函数是否一定连续”？这个问题的答案是，不一定连续。

有些同学我估计审题就审错了，把这个问题看成了“可导是否一定连续”。排除开这种粗心大意的情况，这个问题还是有点反直觉。首先，看着函数研究它的导函数，本身就隔了一层，需要一些想象力；其次，这个导函数并不普通。

1 可以间断的导函数

讲到不连续，我们脑海中的图像应该是这样的（可去间断点）：

或者是这样的（跳跃间断点）:

还有这样的（无穷间断点，我觉得看起来就好像飞机的尾迹）:

但是这三种间断点都不能作为导函数，换句话说，存在这三种间断点的函数没有原函数（文章最后会给出证明）。

只有下面这种间断点可能有原函数（振荡间断点）：

至此，我们总结一下（原函数存在法则还是很重要的，虽然《高等数学》同济版上没有提到）：

• 可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点没有原函数
• 振荡间断点可能有原函数

由于导函数存在的间断点的特殊性，并且振荡间断点是很难想象的（间断点的图像实际是画不出来的，现实中我也想不出有啥对应物），所以我们往往觉得“导函数必定连续”。

下面让我们来研究一下振荡间断点以及原函数存在的情况。

2 振荡间断点的产生

$sin(x)$是一个我们非常熟悉的周期函数。它的周期为$2k\pi $：

而$\frac{1}{x}$是非一致连续的函数，这个函数有个特点：

具体关于一致连续的问题还请参看 函数连续和一致连续有什么区别？开区间上的连续函数不一定是一致连续的，为什么？ 这篇文章。

所以这两个函数结合起来之后，成为$f(x)=sin(\frac{1}{x})$之后产生了化学反应，$x$越靠近0，其震荡越厉害，可以自己动手试试：

最后就形成了这样的图像，我们已无法判断函数在0点附近的几何图像：

此时函数在0点振荡间断了。关于$f(x)=sin(\frac{1}{x})$在0点不连续的代数证明可以参看 如何通俗解释海涅定理？ 这篇文章。

3 从振荡间断到连续

将上述函数稍加改造：

因为$-1 \le sin(\frac{1}{x}) \le 1$，所以$-|x| \le xsin(\frac{1}{x}) \le |x|$，所以我们用夹逼定理很容易证明我们在上图中构造的$f(x)$在0点处是连续的。

当我用夹逼定理来看待$f(x)$的时候，从几何上看就好像夹板把这个弹簧的压缩了一样，下面这个互动我可以玩一天：

可以看出在0点附近，$f(x)$被夹板压缩了，想振荡也没有空间振荡了，被逼的连续了。

我们继续推一下:

$$\begin{eqnarray*} \left.\begin{aligned} -|x| \le xsin(\frac{1}{x}) \le |x|\\ h(x)=-|x|\\ g(x)=|x| \end{aligned}\right\} \implies \frac{h(x)-h(0)}{x-0}\le \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \le \frac{g(x)-g(0)}{x-0} \end{eqnarray*}$$

从上面这个式子我们可以看出，$f(x)$的导数和$h(x)$、$g(x)$的导数大有关系。

根据夹逼定理，若夹逼的$h(x)$、$g(x)$函数在此点导数存在且相等，则函数在此点可导，导数值为夹逼函数在此点的导数值,我们暂且称它为夹逼定理之导数版。

很遗憾，上面的看法是错误的，根据夹逼定理，$h'(0)$与$g'(0)$不存在的时候，必须用别的方法去判断$f'(0)$：

$f'(0)=\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{xsin(1/x)-0}{x-0}=sin(1/x)$，即$f(x)$在$x=0$点并不可导。

4 从连续到可导

继续改造$f(x)$：

$$\begin{align*} f(x)= \begin{cases} x^2sin(1/x) & x\neq 0\cr 0, & x=0 \end{cases}\end{align*}$$

我们容易推出，$h(x)=-|x|^2 \le xsin(\frac{1}{x}) \le g(x)=|x|^2$：

至此，$f(x)$终于可导了，但是它的导函数：

$$\begin{align*} f'(x)= \begin{cases} 2xsin(1/x)-cos(1/x) & x\neq 0\cr 0, & x=0 \end{cases}\end{align*}$$

用海涅定理也很容易证明：

取$x_ n=\frac{1}{n\pi }\to 0$。则:

$\displaystyle \lim _{n\to \infty }2xsin(\frac{1}{x_ n})-cos(\frac{1}{x_ n})=(-1)^ n$

这个极限是不存在的。因此$f'(x)$在$x=0$处极限是不存在的，继而$f'(x)$在$x=0$处不连续。

5 构造多点不连续的导函数

上面我们从一个周期性函数$sin(x)$,和一个非一致连续的函数$\frac{1}{x}$出发,构造出了导函数具有一个间断点的函数。

我们还可以据此，构造出导函数具有两个间断点的函数。

$$\begin{align*} f(x)= \begin{cases} x^2(1-x)^2sin(\frac{1}{x(1-x)}) & 0 < x < 1\cr 0, & else \end{cases}\end{align*}$$

它的导数图像如下:

根据这个方法甚至可以创造导函数具有无穷多个间断点的函数。

6 原函数存在定理的证明

试证明：含有一类间断点、无穷间断点的函数$f(x)$在包含该间断点的区间内必没有原函数$F(x)$。

证：假设$F(x)$为$f(x)$的原函数$\implies F'(x)=f(x)$，设$x=x_0$为间断点，分情况讨论：

(1) 设$x=x_0$为第一类可去间断点，有$\displaystyle \lim _{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)$。而$\displaystyle F'(x_0)=\lim _{x\to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}$，使用洛必达法则得到$\displaystyle F'(x_0)=\lim _{x\to x_0}F'(x)$，即$\displaystyle \lim _{x\to x_0}f(x)= f(x_0)$，矛盾，所以$F(x)$不存在。

第一类跳跃间断点和无穷间断点同理可证。