之前写了两篇关于复数的文章了：

• 复数，通往真理的最短路径
• 欧拉公式，复数域的成人礼

其中提到复数的发现是源于解一元三次方程：

其实在我们学习路径上，一般也不会碰到解一元三次方程的问题，真正引起我对复数思考的是：

泰勒级数展开的问题（关于这个问题，之前写过“使用泰勒公式进行估算时，在不同点有啥区别？”，更初级、更详细一些，感兴趣可以看下）。

我们知道的麦克劳林级数（即点的泰勒级数）为：

取前面三项（用表示取了前三项）就可以在周围近似：

取的项数越多（注意看下图中的），对的近似就越好：

当时，麦克劳林级数可以无限逼近于，这些是泰勒级数的基本概念，这里不再赘述。

这个函数：

它的麦克劳林级数为：

随着增大，麦克劳林级数会无限逼近之间的：

这样的结果还是比较好理解，因为有两个无穷间断点：

而它的麦克劳林级数是连续函数，自然没有办法跨越这两个间断点，所以的麦克劳林级数的完整写法是：

即在区间才有效，超出这个范围，麦克劳林级数就没法逼近了：

因为左右距离展开点都是：

所以也说在点处，此泰勒级数的为。

而这个函数：

它的麦克劳林级数为：

随着增大，麦克劳林级数：

努力地在扩大近似的范围，但依然被局限在的阴影内，所以麦克劳林级数的完整写法应该是：

可是这又没有什么间断点，为什么会这样？

直到有一天，把：

的定义域从实数域变到复数域：

然后作出这个函数的图像（因为自变量和函数都是二维的，本来要画出来需要四维空间，下图只画了的实部）：

用垂直于实轴的平面去切这个函数：

可以看到，交线即是：

而用垂直于虚轴的平面去切这个函数，交线即是：

这两个函数原来是一个复数域函数的不同部分（乘以就相当于旋转）：

让我们尝试这么来演示，作用在虚轴上（在三维图中很难看清楚细节，让我们将它旋转来表示），收敛半径为：

自变量旋转得到的就是，同时收敛半径也跟着旋转：

所以的泰勒级数（下图中绿色的曲线）被钳制在这个范围内（这里的“所以”可能有点突兀，不过此处只是为了给一个直观，具体的证明可以参见维基百科）：

自变量是可以任意旋转的，因此收敛半径旋转后会得到一个。维基百科上有幅图画的很清楚，图中白色的圆圈就是收敛圆（虚轴、实轴各自的泰勒级数也画在图上了）：

这个问题点亮了我，让我认识到，只知道实数，就好像生活在二维空间中的纸片人：

突然发现有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁，纸片人完全不知道怎么去解释：

如果切换到三维视角去的话，问题就很简单了，原来是一个三维的球体穿过二维平面：

而这种让我们大开眼界的视角，正是复数。

（关于的泰勒级数的神秘现象，早就被柯西大神注意到了，也是他证明了收敛圆的存在。）