泰勒级数为什么不可以展开?

这个问题要在复数下才能认识清楚。

之前写了两篇关于复数的文章了:

其中提到复数的发现是源于解一元三次方程:

其实在我们学习路径上,一般也不会碰到解一元三次方程的问题,真正引起我对复数思考的是:

泰勒级数展开的问题(关于这个问题,之前写过“使用泰勒公式进行估算时,在不同点有啥区别?”,更初级、更详细一些,感兴趣可以看下)。

1 泰勒级数展开
1.1

我们知道的麦克劳林级数(即点的泰勒级数)为:

取前面三项(用表示取了前三项)就可以在周围近似

取的项数越多(注意看下图中的),对的近似就越好:

时,麦克劳林级数可以无限逼近于,这些是泰勒级数的基本概念,这里不再赘述。

1.2

这个函数:

它的麦克劳林级数为:

随着增大,麦克劳林级数会无限逼近之间的

这样的结果还是比较好理解,因为有两个无穷间断点:

而它的麦克劳林级数是连续函数,自然没有办法跨越这两个间断点,所以的麦克劳林级数的完整写法是:

即在区间才有效,超出这个范围,麦克劳林级数就没法逼近了:

因为左右距离展开点都是

所以也说在点处,此泰勒级数的

1.3

而这个函数:

它的麦克劳林级数为:

随着增大,麦克劳林级数:

努力地在扩大近似的范围,但依然被局限在的阴影内,所以麦克劳林级数的完整写法应该是:

可是这又没有什么间断点,为什么会这样?

2 复数域的真相

直到有一天,把:

的定义域从实数域变到复数域:

然后作出这个函数的图像(因为自变量和函数都是二维的,本来要画出来需要四维空间,下图只画了的实部):