往下阅读之前，可以先读下我的文章如何解释格林公式，有些物理知识我在此文中进行了解释，并且后面也会用到格林公式。

先来看一副很忙碌的图：

根据我们的高中物理知识（或许是初中），就可知道在上图中，蓝色的小球不论通过哪条路径从顶部掉落到底部，重力所做的功都是一样的。

让我们把上面的物理事实转为数学。

设重力为，则沿路径所做的功可以通过积分来计算：

那么上面的物理事实，就可以表示为：

即从点到点，不论走哪个路径，最终积分都相等。这就是积分与路径无关。

除了定义，我们更关心的是，积分与路径无关的条件是什么？

高数书上提到，在下列两个条件下积分与路径无关（且都是充要条件）：

• 是某函数（假设为）的梯度，即
• ，即此点的旋度为0

其中，。

总结起来就是：

很显然，这三者形成了一个首尾相接的环形，相互之间可以互相推导。

我们尝试通过重力场的例子，从其中一个出发，推出另外两个，这样可以让我们把三者联系起来，加深理解。

让我们从重力场是梯度场这个条件开始我们的推论之旅。

我们先假设重力势能为，这里重力是常数，因为我们研究的高度差远远小于地球半径，可以不用考虑更严格的万有引力定律，让我们的推论过程简单一点。

而重力：

就这样，我们得到了起始条件，重力场是重力势能的梯度场：

重力有个特点，总是让物体朝着重力势能最低的方向（也就是变化最快的方向）运动，就好像沙漏中的沙子：

在重力作用下，蓝色的沙子总是流向势能最低的地方。

这也正是梯度场的特点，在重力场这个梯度场的作用下，势能最低的点就好像一个黑洞，沙子顺着梯度场的反方向运动过去（下面是沙漏的梯度场的动图）：

通过上面的观察，我们可以分析出，在梯度场中，物体是没有办法发生旋转的。

假如，在梯度场中，物体发生了旋转，那么下面这幅图就会成为现实：

我们可以不那么严谨的得到一个正确的结论（这个的证明还是很简单的），重力场（即梯度场）的旋度为0：

根据之间讲过的格林公式，可以知道，沿着边界做的功，是沿着各个微小矩形的做的功之和：

如果重力场的旋度为0，那么：

根据格林公式，我们可以得到：

因此，我们可以得到，在重力场中：

进而可以得到：

即推出重力场中，积分与路径无关。

至此：

你可以尝试从别的条件出发，完成这一系列推论，比如，从重力场中积分与路径无关出发（这正是文章开头提到的高中物理知识）。

上面推论用到了，梯度是指向变化最快的方向，但是指向变化最快的方向的不一定就是梯度，和梯度平行的都指向变化最快的方向。

比如，，其中不是的梯度，但也指向运动最快的方向，最重要的是的旋度并不为零。

因此，以变化最快的方向推论出来的，重力场没有旋度，是不严谨的。

积分与路径无关，是物理中非常重要的“保守场”的定义，重力场就是典型的“保守场”。

本文参考了：Why is the curl of a gradient 0? What is an intuitive explanation of this?