定义 1. 若的为：

则称服从参数为和的 负二项分布 ，记作。

说明 .考虑负二项式（负指数二项式）的展开式可借助广义二项式定理或完成展开，此处不赘述：

因为，所以上式两侧同乘，可得：

通过变量代换可得负二项分布的，并验证其（即所有概率之和为1）：

上述推导过程展示了负二项分布与负二项式的内在联系，这正是其名称的由来。

观察和负二项分布的，有，这说明前者是后者在时的特例（所以两者都要求）。在实际含义上：

• 描述的是，在重复进行的伯努利试验中，获得首次"成功"所需的试验次数
• 负二项分布描述的是，在重复进行的伯努利试验中，获得第次"成功"所需的试验次数

综合来看，负二项分布可视为个几何分布的叠加，如图 1 所示，其中F表示失败，S表示成功在，还将看到负二项分布是几何分布之和。

举例说明负二项分布（定义 1 ）。设每次飞行后，飞机上某非关键易损件的故障概率为。规定该零件故障后可修理（图 2 ），但累计故障次后必须报废。求该零件恰好在次飞行后报废的概率。

设表示“零件发生第次故障所需的飞行次数”，对于关心的，可分析如下：

• 前次飞行后，零件发生了次故障，这部分概率可由给出
• 在第次飞行中，零件必须发生故障（即第次故障），这部分概率为

因此，所求概率正是参数为和的负二项分布，即：

例 1.数学家斯特凡·巴拿赫通常携带两盒火柴（图 3 ），每盒均有根。使用时，他会随机选择一盒从中抽出一根。当所选盒中只剩一根火柴时（此次这根火柴会被抽出），求另一盒剩下根火柴的概率。

图 3 斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach，1892—1945）和他的两盒火柴

解 .设两盒火柴分别为甲盒和乙盒，每盒被抽到的概率均为。下面分情况讨论。

（1）当巴拿赫发现甲盒只剩一根火柴，而乙盒剩下根时，说明：

• 巴拿赫抽取了次甲盒，且最后一次抽取的是甲盒
• 巴拿赫抽取了次乙盒，使得乙盒剩下根火柴
• 巴拿赫总共抽取了次

设表示“甲盒正好抽取次所需的抽取数”，由上述分析可知。故发现甲盒只剩一根火柴时，乙盒剩下根的概率为：

（2）同理，设表示“乙盒正好抽取次所需的抽取数”，则。故发现乙盒只剩一根火柴时，甲盒剩下根的概率为：

（3）综上，当所选盒中只剩一根火柴时，另一盒剩下根火柴的概率为：

定理 1.若服从参数为和的负二项分布，则有。

说明 .根据和的定义来证明会很繁琐，但可通过负二项分布与的关系来理解：

• 描述的是"第1次成功所需的试验次数"，其为，为
• 负二项分布描述的是"第次成功所需的试验次数"，故其、是的倍

结合定理 1 作出负二项分布的图像，如图 4 、图 5 和图 6 所示。不难理解，"成功"概率越大，"第次成功所需的尝试次数"越少，分布相应向左集中。且由于其期望和方差均为的倍，使得分布整体右移且更加分散。