定义 1. 若的取值为、、，其为：

则称服从参数为和的 负二项分布 ，记作。

说明 .考虑负指数二项式的展开式可借助广义二项式定理或完成展开，此处不赘述：

因为，所以上式两侧同乘，可得：

对上式进行的代换，可得到负二项分布的，并验证了该分布的：

上述推导过程展示了负二项分布与负指数二项式的内在联系，这正是其名称的由来。

观察和负二项分布的，有，这说明前者是后者的特例。在意义上，

• 描述的是，在重伯努利试验中，首次获得"成功"所需的试验次数
• 负二项分布描述的是，在重伯努利试验中，正好次获得"成功"所需的试验次数

举例说明负二项分布。假设飞机上某非关键的易损件，每次飞行后损坏的概率为。根据维护规定，该零件损坏后可以修理，如图 1 所示，但累计损坏次后必须报废。那么恰好在次飞行后此零件报废的概率是多少？

设表示“零件正好损坏次所需的飞行次数”，对于我们关心的，可以这样分析：

• 在前次飞行后，零件恰好损坏了次，这部分概率由给出
• 在第次飞行后，零件必须发生损坏（即为第次损坏），这部分概率为

因此，所求概率正是参数为和的负二项分布，即：

例 .数学家斯特凡·巴拿赫通常携带两盒火柴，如图 2 所示，每盒均有根。使用火柴时，他会随机选择一盒并抽出一根。求：当巴拿赫发现所选的盒子只剩一根火柴时（此次这根火柴会被抽出），另一盒剩下根火柴的概率。

图 2 斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach，1892—1945）和他的两盒火柴

解 .假设这两盒火柴分别为甲盒和乙盒，抽到甲盒、乙盒的概率都是。

        （1）当巴拿赫发现甲盒只剩一根火柴时，乙盒剩下根的情况。这说明，

• 巴拿赫抽取了次甲盒，且最后一次抽取的是甲盒
• 巴拿赫抽取了次乙盒，使得乙盒剩下根火柴
• 巴拿赫总共抽取了次

设表示“甲盒正好抽取次所需的抽取数”，所以。因此，我们关心的概率为：

        （2）同理，当巴拿赫发现乙盒只剩一根火柴时，甲盒剩下根的概率和（1）相同。因此，当巴拿赫发现所选择的盒子只剩一根火柴时，另一盒剩下根火柴的概率为：

定理 1.若服从参数为和的负二项分布，那么有，以及。

说明 .根据和的定义来证明会很繁琐，但可通过负二项分布与的关系来理解这些结论，

• 描述的是"第1次成功所需的试验次数"，其为，为
• 负二项分布描述的是"第次成功所需的试验次数"，故其、都是的倍