克雷数学研究所在2000年5月24日公布了七大数学难题，被称为千禧数学问题，并且给出悬赏，这些问题每解决一个都可以获得一百万美金的奖金。所有问题都悬而未决，除了庞加莱猜想，本文就来介绍下庞加莱猜想讲的是什么。
历史上很长的时间，人们都觉得地球是平的：
中世纪的欧洲人普遍相信欧洲最西南端的葡萄牙的罗卡角就是大陆的尽头，此处有一块石碑上面刻着诗人卡蒙斯（Camões）的名句，“陆止于此，海始于斯”：
1519年，麦哲伦带领5支船、约270人组成的远航队伍，从欧洲的西南部出发，一路向西航行。这条航路没有人走过，充满未知，一路上困难重重，麦哲伦本人都死在了菲律宾。最终3年后只有一艘船回到了葡萄牙：
转了一圈回来是不是说明地球就是圆的了？不一定，如果是“甜甜圈”形状，麦哲伦也可能转一圈回到原地：
直到最后我们跳出地球，才能完全确定地球真的不是“甜甜圈”（下图是月亮上看到的地球）：
面对地球我们还有能力跳出去俯瞰，但浩瀚的宇宙目前看来跳出无望，该怎么确定它的形状呢？
让我们来做一个思想实验，给一颗子弹尾部捆上足够长的绳子，并且把这颗子弹射向太空，假设这颗子弹环绕宇宙一圈后回到了地球：
这条绳子就被弹头带着围绕宇宙转了一圈，构成了一个绳圈，然后用手拉着绳圈的两头使劲往回扯：
假想我们跳到宇宙的外面，会看到如果宇宙是球形的，那么这个绳圈最终会收回地球：
而如果宇宙是“甜甜圈”形状的，这个绳圈会被中间的孔洞挡住，最终无法收回地球：
这个思想实验告诉我们：如果宇宙是球形的，那么绳圈一定可以收回地球。而庞加莱猜想是反过来说的：
当然这个猜想还有更专业的、更高大上的版本：
儒勒·昂利·庞加莱（1854－1912）：
在1904年的名为《对位相分析学的第5次补充》论文中提出了庞加莱猜想。所谓的位相分析学后来发展为数学重要的分支“拓扑学”。庞加莱猜想最重大的意义就是随着它的诞生、以及深入地研究，加深了人们对形状的理解，促使“拓扑学”诞生和完善。
拓扑学是关于形状（术语是流形）的数学分支。在拓扑学之前，我们对于形状是这么理解的：
不过在刚才在描述宇宙是“球形”的时候，实际上图像并不是标准的“球形”。在庞加莱猜想中，或者说“拓扑”这个数学分支中，并不关心传统意义上的、精确的形状，它会认为任何三维中有一个“洞”的形状都等同于“甜甜圈”（比如下面的茶杯），任何三维中没有“洞"的就等同于“球形”（比如下面的橡皮奶牛）：
据说庞加莱连圆形和三角都分不清楚，所以才导致了拓扑学的研究。如果真是这样，只能说他是拓扑学的天选之子。
不管拓扑看起来多么古怪，在庞加莱猜想的研究中却恰如其分。在这里，我们剔除掉传统形状的长度、角度、圆心、周长、面积这些概念，只关心有一个孔还是没有孔，这点唯一决定了绳圈是否可以收回。
在庞加莱猜想提出到解决的100多年时间里，太多的勇士前仆后继，想要获得这至高的荣誉。在我印象中最令人唏嘘的就是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯（1914－1976）：
他的名字实在太长，所以通常简称为帕帕。当时身为普林斯顿大学的研究员，帕帕每天早上8点出现在餐厅吃早餐，8点半准时开始研究工作，11点半吃午餐，12点半返回继续工作，然后15点进入公共休息室喝下午茶，16点又返回办公室，精准到完全可以根据他的作息来校对手表。
他几乎把所有的时间都贡献给了数学，为了证明庞加莱猜想，其他的所有一切都抛之脑后。普林斯顿大学曾邀请帕帕出任教授一职，并且破格给出了只需要帕帕每周承担三个小时的教学工作（你要知道有多少人想得到教授职位）。他的回答是，自己只想作为研究员专心于庞加莱猜想的证明工作。
同时代的沃夫冈·哈肯宣布自己证明了庞加莱定理，最后在提交论文之前哈肯自己发现了致命错误。这次失败让哈肯博士陷入了暴食症，后来他评判自己当时患上了“庞加莱猜想综合症”。真正治愈他的是没多久后，他转向研究“四色问题”，并且最终证明出来。看来治疗“庞加莱猜想综合症”需要另外一个难题，数学家始终难以摆脱“挑战难题”这种病。
另外一个“庞加莱猜想综合症”患者帕帕在沃夫冈·哈肯宣布自己证明出庞加莱猜想的这段时间里，生命仿佛被抽空，这对于本来抑郁的他更是雪上加霜。不过上帝对于他还是仁慈的，只是虚惊一场。
这位赌上全部人生想要证明“庞加莱猜想”的男人后来患上了胃癌，撒手人寰。希腊有部畅销小说《Uncle Petros and Goldbach's conjecture》，其中的天才数学家彼得罗斯就是以帕帕为原型创作的。彼得罗斯在书中也有一个奉献终身的数学难题，作者给他安排了一个浪漫的结局：走火入魔的彼得罗斯最后在解开难题的幻象中离开了人世。
美国数学家史蒂文·斯梅尔（1930－）：