如何通俗地理解曲率?

同学们大家好,今天我们来学习曲率。

1 自然语言

通俗的讲,曲率被定义为曲线的弯曲程度。比如下面这几条曲线,可以看到它们的弯曲程度是不一样的。最上面的最平,曲率最小,最下面的最弯,曲率最大。

上面用的是自然语言,那么用数学语言定义,曲率又该如何定义呢?假设用代表曲率,也就是

2 圆的曲率

在定义一般曲线的曲率之前,我们首先定义的是圆的曲率。圆越小,曲率越大,圆越大,曲率越小。

这是符合观察的,可以看到,随着圆越大,曲线越来越平,曲率越小,圆越小,曲线越弯,曲率越大

也就是说,对于圆而言,曲率与半径成反比,此时

根据这个公式,我们可以很容易的计算出,半径为1的圆,曲率为1/1,半径为2的圆,曲率为1/2,半径为3的圆,曲率为1/3。

现在,我们手上有了圆的曲率定义公式,下面,我们要根据它,定义出一般曲线的曲率。

3 一般曲线的曲率
3.1 密切圆

可以看到,对于一般曲线而言,各个位置上的弯曲程度是不一样的。有些位置比较弯,有些位置比较平。

那么,我们要计算某一处的曲率,就在它的左右各取一个点。并用这三点确定一个圆。

然后将左右两个点不断向中间靠拢,最终得到的圆,称为密切圆。密切圆就是对这个点附近的曲线的最佳圆近似。

可以观察到,在曲线较为平坦的地方,密切圆半径较大,较为弯曲的地方,密切圆半径较小。

这个事实告诉我们,可以用密切圆的曲率来定义曲线的曲率

现在只要计算出密切圆的半径,就能计算出曲线的曲率。下面开始计算

3.2 计算

首先假设中间的点为,左右两个点分别为,由它们确定的圆的半径用来表示

这个可以由外接圆半径公式得到

其中为三个点构成的三角形的三条边的边长,为这个三角形的面积

下面将三条边分别用向量来表示

那么三条边的边长,就是这三个向量取模长。

根据行列式的几何意义可知,由与向量所构成的平行四边形的有向面积,可以用行列式表示

那么取绝对值后,得到的是平行四边形的面积,三角形的面积就是这个平行四边形面积的一半。

因此

设曲线函数为,那么三个点的坐标分别为

那么三个向量分别为

将此带入上式,就能得到

首先引入正弦定理,一个三角形的外接圆:

三角形的边长分别为,;对应的顶角分别为,,外接圆半径,根据正弦定理有:

又由于三角形的面积为:

综合上述两个条件可以得到:

好,有了上面的知识后继续往下。如图,附近两个点决定一个圆,这三个点的坐标如下:

为了方便计算,将三个点标注为向量:

这三个点组成三角形,在此三角形中各自的对边为以下向量:

在图上标示下:

下面行列式:

表示的是如下平行四边形的有向面积:

有向面积是有正负号的,所以平行四边形的面积需要加上绝对值:

的面积为此平行四边形面积的一半,因此:

至此可以得到:

上下同除以可得:

下面让左右两边的点向中间靠,设时,得到的密切圆半径为

的极限

分别求各项的极限。首先:

然后:

同理:

最后还有:

所以可得:

它的倒数,就是曲率