如何通俗地理解曲率?

1 地球是圆的

历史上很长的时间,人们都觉得地球是平的:

不过如果在海边,还是容易发现地球其实不是平的。比如极目远眺,发现很远的建筑在海平面以下:

加上麦哲伦环球航行、月全食、太空旅行等各种事实的呈现,人们最终可以确定地球是圆的的了(下图是从月球上看地球)。

之所以这么难发现地球是圆的,主要是因为地球的半径太大了。

2 球的曲率

下面有三个球体,网球、篮球、地球,半径越小的越容易看出是圆的:

随着半径地变大(除了圆心之外,圆能够改变的也只有半径了),越来越不圆了:

因此,定义球体或者圆的“圆”的程度,术语叫作,为:

其中为球体或者圆的半径,这样半径越小的圆曲率越大,直线可以看作半径为无穷大的圆,其曲率为:

这样定义曲率符合我们的直觉。

3 曲线的曲率

很显然,曲线也有不同的弯曲程度:

3.1 密切圆

可以将圆的曲率扩展到曲线上。我们知道两点决定一条直线,比如下面就是曲线的割线:

的时候,得到的就是切线:

同样的道理,三个点可以确定一个圆:

时,得到的圆称为(Osculating circle),是对附近的曲线的

3.2 密切圆的半径与曲率

可以观察到,在曲线较为平坦的地方,密切圆半径很大,较为弯曲的地方,密切圆半径就较小:

这个事实告诉我们,可以用密切圆的曲率来定义曲线的曲率:

已知函数点有二阶导数,且,则此点有密切圆,其半径为:

此时,曲线的也就是密切圆的曲率,为:

所以密切圆也称为曲线的,半径称为

首先引入正弦定理,一个三角形的外接圆:

三角形的边长分别为,;对应的顶角分别为,,外接圆半径,根据正弦定理有:

又由于三角形的面积为:

综合上述两个条件可以得到:

好,有了上面的知识后继续往下。如图,附近两个点决定一个圆,这三个点的坐标如下:

为了方便计算,将三个点标注为向量:

这三个点组成三角形,在此三角形中各自的对边为以下向量:

在图上标示下: