多变量函数的极限是单变量函数极限的扩展，让我们从数列极限的直观开始学习。

在古希腊的时候，人们就知道可以用等边多边形的面积来逼近圆形的面积：

假设用来表示内接等边边形的面积，那么可以用一个数列来描述这个逼近过程：

这个数列的极限就是圆形的面积：

可以通过直角坐标系中的图像来展示该数列极限，可以看到随着的增加，数列越来越逼近圆形的面积：

数列极限在《单变量微积分》有详细讲解，这里只是提下梗概。

对于更一般的单变量函数的极限（数列可以看作是定义域为自然数的函数）：

如果将看作，在的去心邻域内，从左侧或右侧逼近的点列：

那么极限可以解读为，当沿着上述的点列逼近时，对应的函数值也不断逼近：

这种观点是可以推广到多变量函数的极限上去的，比如二元函数的极限：

其中的可以看作，在的去心邻域内，从四面八方逼近的点：

那么二元函数的极限就是，当沿着上述的点逼近时，对应的函数值也不断逼近（下图如果把画出来就太乱了，不过还是可以看出，沿着这些点，对应的函数值都逼近于同一个值）：