如何通俗地理解熵?

熵,是一个热力学的概念。但在历史的发展中,造就了它非常丰富的内涵,进入了很多学科的视野。本文会在数理层面对它进行一个解读,厘清它在逻辑上到底是什么。

1 混乱的熵

很多科普文章中,都提到熵是用来度量混乱的。比如下面这幅动图,单词“Entropy”(熵的英文)可见的时候,熵最小,这个时候最有秩序;而被打乱的时候,熵开始增大,直到最后一片混乱,熵变成最大:

熵之所以很重要,是因为它总结了宇宙的基本发展规律:宇宙中的事物都有自发变得更混乱的倾向,也就是说熵会不断增加,这就是

比如说自己的卧室,要是不去收拾它,就会变得越来越混论,或者说熵不断增大(下图中上面的房间比下面的房间熵要小):

要是年久失修,建筑物会日益破败(下图中左边的建筑物就比右边的废墟的熵小):

不过对混乱的判断是带有主观色彩的,甚至有一些审美的意味。比如,如何判断雾更混乱还是露珠更混乱(雾的熵更大):

露珠

有同学喜欢“雾失楼台,月迷津渡”这样的感觉,那么可能觉得雾更有秩序;而有的同学可能更喜欢“蒹葭苍苍,白露为霜”,就很可能觉得露水更有秩序。总之通过混乱去理解熵的话,容易误解,不够精确。

2 可能的熵

所谓的整洁,指的是合适的物品放在合适的位置。比如将下图定义为“整洁”,也就是说图中大概有20件可以移动的物品,都放在了合适的位置:

而实际上,图中至少有100个可以放置物品的位置(墙上的壁画歪着挂,也可以看作换了一个位置)。通过组合,可算出20件物品放置在100个位置上,其总的放置方法为非常巨大的数字:

如果“整洁”被定义为上图中的放置方法,其余都统统称为“混乱”。那么“整洁”在所有放置方法中的占比,即“整洁”出现的概率是非常小的,几乎为不可能事件;而“混乱”几乎为必然事件,所以“整洁”很容易变为“混乱”:

熵越大,意味着发生的可能性越大。而整个宇宙,自发地朝着可能性更大的方向,也就是熵更大的方向在发展,这就是的更准确的描述(要强调下,如果有人去收拾房间,那就不叫作“自发”)。

3 玻尔兹曼的熵的定义
3.1 玻尔兹曼

上面是对熵通俗的讲解(emm,应该算通俗吧),下面开始进行一些严格的讨论。写到这里有点惶恐,熵是热力学的核心概念,而本人对热力学的了解止于皮毛,所以之后的内容只能保证在个人理解范围内尽量严谨,抛砖引玉,望同学们斧正。

在不同的历史阶段,克劳修斯、玻尔兹曼、吉布斯、香农等大咖都给出过不同的熵的定义。这些熵的定义本质是统一的,它们之间的差异反映了人们对熵的认知的发展。下面主要介绍玻尔兹曼对熵的定义:

路德维希·爱德华·玻尔兹曼(1844-1906)

他对熵的定义如下:

这个公式将传统的热力学重建在了统计上,奠定了统计力学的基础。但它太过于跨时代,招来了很多的非议。玻尔兹曼本身精神状况欠佳,而学术上的攻击可能是最后一根稻草,最后他在情绪失控中自缢身亡。死后人们才慢慢接受了他的结论,并将这个公式镌刻在位于维也纳中央公墓的玻尔兹曼的墓碑上(下图中墓碑的顶端,刻着的就是这个公式):

3.2 宏观态与微观态

玻尔兹曼提出了一个有趣的问题:屋子里空气分子,会不会突然全跑到左半边去,从而让右边的人憋死?用脚趾头想都知道,答案肯定是不会的。下面来看看玻尔兹曼是怎么解释的,并且借用这个例子来说明熵的定义是什么意思。

下面把问题进行简化,假设房间中只有四个空气分子,用不同颜色来标记这四个空气分子。这四个空气分子在房间中可能的情况全部列举如下:

上面这幅图分为左右两侧,左边的文字称为“宏观态”;右边的分子分布状态,称为“微观态”。比如宏观态“左二右二”,指的是房间左边有两个分子,右边也有两个分子,这个时候人们会从宏观上感受到空气是均匀的,不论你站在房间的哪一边都不会被憋死;但是,在微观上对应的是六种分子的分布,而总共有16种分子分布,所以宏观态“左二右二”发生的概率为:

相对于别的“宏观态”,“左二右二”是概率最大的,也就是说最可能发生的。而我们担心的“全在左边”概率很低,所以不用担心憋死:

似乎“全在左边”和“全在右边”加起来还是有的概率,也就是说平均下来8个房间就有一个可能会憋死人。不过这里只讨论了4个分子的情况,实际房间中有非常多的分子,“全在左边”、“全在右边”这两个宏观态的概率几乎为0,完全不用担心它发生。事实上,也没有听到过类似事件的报道。

3.3 熵的定义

回到熵的定义熵来,宏观态“左二右二”,对应的微观态的个数为6。微观态的个数就是熵的定义中的,所以“左二右二”对应的熵为(其中为玻尔兹曼常数,该常数存在的意义,某种程度上是为了统一各种熵的定义的):

所以,简单来看,熵就是正比于微观态的个数的:

那么微观态个数最大的“左二右二”,也就是熵最大的宏观态。根据熵增原理,其它的宏观态都是不稳定的(熵较小),会自发的变换为“左二右二”。谢天谢地,熵增原理保证了我们不用憋死:

4 热传导

两个温度不一致的房间,如果彼此可以进行热交换的话,温度最终会趋于一致: