不同直径的圆转一圈后,滚过的距离相同?谈一下亚里士多德车轮悖论与无穷小

不同直径的圆转动一圈后,可以滚过相同的距离?直线是由点构成的吗?
1 亚里士多德的车轮悖论

如下的木头轮子,可以将它抽象为两个同心圆,大的表示车轮,小的表示车轴:

假设大圆的半径为,小圆的半径为。那么车轮在水平线上(无滑动地)滚动一圈的话,两个圆的底部都会平移相同的距离,即大圆的周长

想象大圆、小圆上分别涂上了不同颜色的油漆,车轮滚动一圈后,大圆、小圆所接触的水平线都会被涂满油漆,并且这两段水平线的长度都为

也就是说,半径不同的两个圆,同步旋转一圈后,辗过的水平长度都是,就常识而言,这个结论非常奇怪。这就是古希腊数学家亚里士多德在《论机械》中提出的车轮悖论:

2 伽利略的思考

1638年出版的《论两种新科学及其数学演化》中,伽利略在其中提到了如何解释亚里士多德的车轮悖论:

上面的图像可能有一点抽象,下面用更容易理解点的方式来解释下伽利略的思考。我们知道,可用正边形去近似圆,越大,越接近于圆: