如下的木头轮子,可以将它抽象为两个同心圆,大的表示车轮,小的表示车轴:
假设大圆的半径为
想象大圆、小圆上分别涂上了不同颜色的油漆,车轮滚动一圈后,大圆、小圆所接触的水平线都会被涂满油漆,并且这两段水平线的长度都为
也就是说,半径不同的两个圆,同步旋转一圈后,辗过的水平长度都是
1638年出版的《论两种新科学及其数学演化》中,伽利略在其中提到了如何解释亚里士多德的车轮悖论:
上面的图像可能有一点抽象,下面用更容易理解点的方式来解释下伽利略的思考。我们知道,可用正
因为多边形和圆的这种关系,所以先来考虑下正六边形的轮子旋转,虽然这种轮子在水平路面上肯定不舒服。想象这样的轮子,大六边形和小六边形都涂上了不同颜色的油漆,车轮滚动一圈后,大六边形底边所在水平线涂满了油漆,而小六边形所在底边水平线并没有涂满:
正十四边形更像圆了,同样的,大十四边形底边所在水平线涂满了油漆,而小十四边形底边所在水平线并没有涂满:
也就是说小圆实际上没有辗过水平上的每一个点,只是辗过了其中的一部分点。这样,伽利略就回答了亚里士多德的车轮悖论。
1621年,意大利数学家卡瓦列里:
向伽利略请教了这么一个问题,可以不可以认为线段是由无穷多个、长度为无穷小的点构成的(这个问题如果成立的话,意味着可以通过将点累加起来得到线段的长度,也就是微积分的萌芽。但是承认点有长度也是非常古怪的):
伽利略也一直在思考类似的问题,他在反复思考之后,最终从亚里士多德的车轮悖论中得到灵感,说线段是由无穷多个点构成的,而这些点之间夹杂着无穷多个长度为无穷小的空白。按照伽利略的这个设想,既可以保证线段是由点构成的,又可以保证这些点是没有长度的,还可以保证线段本身是有长度的。
当然不论是卡瓦列里,还是伽利略的假说,都是蕴涵矛盾的。当时人们认为无穷小是非常非常非常小的实数(这个认识是错误的,在现代的数学定义中,无穷小是函数,或者是数组,具体的解释可以查看这里),那么无穷多个长度为无穷小的点加起来(卡列瓦里的线段假设),或者无穷多个长度为无穷小的空白加起来(伽利略的线段假设),其长度一定是无穷大。但线段的长度很显然不是无穷大。
由于伽利略对无穷小的错误认识,所以他对亚里士多德的车轮悖论解释是错误的,下面用物理学的观点来解释一下。如果大圆和小圆都是独立滚动的,那么都滚动一圈的话,确实大圆应该水平移动
但在悖论中,真正独立滚动的是大圆,小圆是完全被动运动的。所以,悖论中提到小圆的半径为
“滚动+滑动”的叠加运动,我们没有办法做出图像,应该有点像刚才伽利略的推理,涂上蓝色油漆的部分对应着滚动,没有涂色的地方对应着滑动:
抛开物理观点,还可以从数学角度来品味下这个悖论。在小圆上有无穷多个点,在水平线上也有无穷多个点。根据集合论的观点,两个无穷是一样多的,因此小圆上的点和水平线上的点是一一对应的(为了避免图像太乱,下面选了几个点作为示意):
小圆上的点和水平线上的点重合,这就是“辗过”的数学定义。那么根据上面的一一对应关系,小圆转动时,小圆上的每个点都可以找到水平线上一个对应的点与之重合,也就是说,小圆可以辗过水平线上所有的点。也就是说,只观察点的话,小圆确实辗过了整个水平线。
上面的推断过程涉及到无穷大的比较,有困惑的同学可以搜索“希尔伯特旅馆悖论”进一步的了解。
关于亚里士多德的车轮悖论,还有这么一种解释:轮子滚动一圈之后,平移了
也就是说,大家不要去考虑什么小圆,不要跟着悖论的思路走,就不会陷入思维陷阱。
虽然伽利略、卡瓦列里关于无穷小的思考是错误的,但他们的尝试、彼此之间的争论是数学发展的推动力。在一代代数学家的努力下,最终微积分才有了严格的定义,成为了现代科学的基石。