为什么算出来的圆周率 π 等于 4 ?

按照下图的算法,似乎可以算出圆周率等于4:

这个结论肯定是错误的,这篇文章就来仔细解释下。

1 周长和面积

确实,随着不断弯折,圆外多边形看上去越来越接近圆:

那为什么文章开头的结论是错误的呢?我们需要明白,在这个弯折过程中,圆外多边形的周长和面积发生了不同的改变:

  • 圆外多边形的周长始终保持不变,并没有逼近圆的周长
  • 圆外多边形的面积不断逼近圆的面积,所以看上去圆外的多边形看上去越来越接近圆
1.1 周长不变

将圆的右上角放大,可见外接正方形的边无论折成多少个阶梯,只要恰当地平移这些阶梯,就可以还原出之前的正方形(动图出处):

也就是说,在弯折过程中,圆外多边形的周长始终为4:

更代数一点,可用数列来表示弯折过程中外面多边形的周长,很明显该数列的极限为:

这是一个常数数列,该数列的极限为4,这说明弯折过程中圆外多边形的周长是没有发生变化的。

1.2 面积逼近

一开始,外接正方形和圆形的面积大概相差4个直角三角形,也就是下图中蓝色的四个直角三角形。因为圆的直径为1,所以容易推出这四个直角三角形的面积之和为,也就是说外接正方形和圆形的面积大概相差

不断地弯折圆外多边形,可以算出这些直角三角形的和是在不断减小的,也就是圆外多边形和圆形的面积差在不断减小:

这说明圆外多边形的面积在不断逼近圆形的面积。

1.3 科赫雪花

综上,之所以得到错误的结论,是我们直觉上认为面积逼近的同时周长也会逼近。这个直觉是错误的,周长和面积并没有绝对的对应关系。来看一个更极端的例子,像下面动图一样,从边长为的等边三角形开始,可以生成类似于雪花的图像,也称为科赫雪花:

可以证明,科赫雪花的面积的极限为,但周长的极限为无穷大,具体细节可以参考这里

2 另外一个问题

下面来看一个类似的问题,这个问题可以帮助我们思考得更深一些。同样是直径为1的圆,在它的圆周上画满相切的圆:

如果交替地取这些圆在圆周内的部分和圆周外的部分,就构成了一条缠绕着圆周的连续曲线:

上图中的曲线是由8个圆组成的,当然可以用更多的相切圆来构造该曲线。随着相切圆的增加,该曲线的周长会持续缩小,但是到一定程度后周长就不再缩小了: