在同济大学《高等数学》第七版上册中，有求复合函数极限的定理：

可以用一幅图来说明该定理：

在我们课程的答疑群中，不少同学对其中这个条件有疑问。其实不光这个条件，这个定理值得关注的地方挺多的，比如：

• “函数是由函数和函数复合而成”，这里的函数和函数都是一般函数，没有作什么限制
• “如果在有定义”，在去心邻域内函数有定义，是求函数极限最基本的要求
• “当时，有”，不满足该条件的话，就不能用该定理来计算极限

下面会用不同的例子来阐述上面条件暗藏的陷阱，不过先图解下复合函数的极限，方便之后的讲解。

下面是一般的函数极限：

其中可以看作，在的去心邻域内，从左右两侧逼近：

而该极限可以直观地、不那么严格地解读为，当沿着从左右两侧逼近，对应的函数值不断逼近极限值：

对于复合函数的极限：

可以看作，从左右两侧逼近，从而导致从左右两侧逼近，所以最终复合函数值不断逼近极限值，这也是在点的极限：

“函数是由函数和函数复合而成”，这里的函数和函数都是一般函数，没有作什么限制。如果可以判断函数有一定的特殊性，比如下面的两个函数：

其中在是连续的，且在有定义，直接运用连续函数求复合函数极限的定理：

“如果在有定义”，在去心邻域内函数有定义，是求函数极限最基本的要求。这个条件有些同学可能会忽略，来看一个反例吧。比如：

其中在是没有定义。而在点附近剧烈震荡，不断和轴相交：

这导致两者复合后，从左右两侧逼近，却导致了在逼近的过程中不断地出现的情况：

最终导致了，找不到任何一个去心邻域，使得复合后的有定义，因此没有办法求出极限。

“当时，有”，不满足该条件的话，就不能用该定理来计算极限。也来看一个反例，比如：

是一个有间断点的函数，的极限为1，即：

但是因为是常值函数，所以从左右两侧逼近（其实可以为任意值），却恒等于：

所以复合函数的极限，而不是的极限值1。在这个例子中，就是去心领域中始终有，因此不符合复合函数求极限的条件。

数学定义，尤其是经典教科书久经锤炼的数学定义，都是非常精炼的。每一个条件不会凭空存在的，如果有所质疑，可以寻找下反例，这样能够加深理解，提高数学水平。