同学们大家好，今天我们来学习。

泰勒公式由两部分组成:第一部分为多项式,第二部分为余项

它其实是光滑函数的另一种表达。

以光滑函数为例(下图中的绿色曲线)。多项式是如何逼近的。

注意到此时，多项式是约等于光滑函数。而如果加上余项后，约等号就能变成等号了。

在本文中，我们不讨论余项，单看多项式是如何逼近光滑函数的

在多项式中，除了自变量，还有一个可以变动的参数

它代表的是泰勒公式的展开位置。时，泰勒公式在点处展开。

此时，多项式与光滑函数在点附近贴合的较好

时，泰勒公式在点处展开。此时多项式与光滑函数在点附近贴合的较好。

本文将以,即泰勒公式在点展开为例，讲解多项式是如何逼近光滑曲线的。

将多项式展开

去掉系数后，可以看到多项式的基础组成部分是幂函数

幂函数可以分为偶函数和奇函数两种

偶函数开口方向相同，奇函数开口方向相反

它们组合在一起就能产生拉伸的曲线

让我们看个更复杂的例子

蓝色表示的是光滑函数，多项式是的一次方

此时可以看到，在绿色区域，多项式与光滑函数贴合的较好，而红色区域，多项式开始远离光滑函数。

为了贴近光滑函数，左边的红色区域需要向上弯，右边的红色区域需要向下弯。

两边弯的方向不一致，需要的是奇函数。这里选择

与多项式相加，确实达到了左边向上，右边向下的效果。

但是，之前表现较好的绿色区域，却出现了多项式与光滑函数贴合不好的情况。

说明弯的有点过头了，这时可以考虑给加一个系数。加上系数后，奇函数显得更为扁平。

此时再与多项式相加，就达到了预期的效果。

接着，为了继续靠近，需要左边向下弯，右边向上弯

弯的方向不一致，还是选择奇函数

与此奇函数相加，多项式更贴合光滑函数了

看完这个例子，让我们回到本文开始的地方。

需要逼近的光滑曲线用蓝线表示，多项式的第一项是常数1

为了靠近光滑函数，需要左边向下弯，右边向上弯

弯的方向不一致，需要加奇函数，选择与的一次方相加。相加后的多项式呈一条斜的直线

此时为了逼近光滑函数，需要同时向上弯。

弯的方向一致，需要加偶函数，选择与相加。

随着项数的增加，多项式不断逼近光滑曲线。

这节课，我们学习了泰勒公式。并着重讲解了，零点展开的多项式，如何逼近光滑函数。

不过对于系数该怎么确定，余项代数式如何表达，都没有展开

这些留待以后的文章再给同学们讲解。