泰勒公式系列之一,多项式逼近

同学们大家好,今天我们来学习

泰勒公式由两部分组成:第一部分为多项式,第二部分为余项

它其实是光滑函数的另一种表达。

1 泰勒公式表示光滑函数

以光滑函数为例(下图中的绿色曲线)。多项式是如何逼近的。

注意到此时,多项式是约等于光滑函数。而如果加上余项后,约等号就能变成等号了。

在本文中,我们不讨论余项,单看多项式是如何逼近光滑函数的

2 多项式中的

在多项式中,除了自变量,还有一个可以变动的参数

它代表的是泰勒公式的展开位置。时,泰勒公式在点处展开。

此时,多项式与光滑函数在点附近贴合的较好

时,泰勒公式在点处展开。此时多项式与光滑函数在点附近贴合的较好。

本文将以,即泰勒公式在点展开为例,讲解多项式是如何逼近光滑曲线的。

3 幂函数

将多项式展开

去掉系数后,可以看到多项式的基础组成部分是幂函数

幂函数可以分为偶函数和奇函数两种

偶函数开口方向相同,奇函数开口方向相反

它们组合在一起就能产生拉伸的曲线

让我们看个更复杂的例子

4 复杂的例子
4.1 第一次靠近

蓝色表示的是光滑函数,多项式是的一次方

此时可以看到,在绿色区域,多项式与光滑函数贴合的较好,而红色区域,多项式开始远离光滑函数。

为了贴近光滑函数,左边的红色区域需要向上弯,右边的红色区域需要向下弯。

两边弯的方向不一致,需要的是奇函数。这里选择

与多项式相加,确实达到了左边向上,右边向下的效果。

但是,之前表现较好的绿色区域,却出现了多项式与光滑函数贴合不好的情况。

说明弯的有点过头了,这时可以考虑给加一个系数。加上系数后,奇函数显得更为扁平。

此时再与多项式相加,就达到了预期的效果。

4.2 第二次靠近

接着,为了继续靠近,需要左边向下弯,右边向上弯

弯的方向不一致,还是选择奇函数

与此奇函数相加,多项式更贴合光滑函数了

看完这个例子,让我们回到本文开始的地方。

5 开头的例子

需要逼近的光滑曲线用蓝线表示,多项式的第一项是常数1

为了靠近光滑函数,需要左边向下弯,右边向上弯

弯的方向不一致,需要加奇函数,选择与的一次方相加。相加后的多项式呈一条斜的直线

此时为了逼近光滑函数,需要同时向上弯。

弯的方向一致,需要加偶函数,选择与相加。

随着项数的增加,多项式不断逼近光滑曲线。

6 总结

这节课,我们学习了泰勒公式。并着重讲解了,零点展开的多项式,如何逼近光滑函数。

不过对于系数该怎么确定,余项代数式如何表达,都没有展开

这些留待以后的文章再给同学们讲解。

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