微分与导数之一,切线

曲线如何被直线代替

以直代曲是微积分的基本思想

用来代替曲线的直线就是切线,这就是本课要讨论的问题

1 困难

对于一条曲线

我们感兴趣的,可能有它的长度

它的面积,等等

但很显然,因为是曲线,所以这些并不好求解。

我们需要想办法把它用直线表示。

2 分析

假设有曲线和直线,如果两者完全相等,那么有:

不过这显然很难办到。

但可以做到在某一点相等

下面,我们稍微进一步。以为中心,取一小段

在这一段上,相差很小

并且,随着的减小,直线不断逼近曲线

将此推广到整条曲线。首先将,曲线分成若干份

每份都用一条线段代替

并且随着划分的越来越细,这些直线越来越接近之前的曲线

这种,用直线代替曲线的方法,称为以直代曲。

下面,将前面的分析,落到代数上

3 建模
3.1 条件一

前面说过,在一小段区间上,直线与曲线相差较小

加上高阶无穷小,就可以把约等于变成等于

3.2 条件二

其次,曲线与直线点处相等。

如果,此时再知道直线的斜率

那么就能得到直线的表达式

下面,我们就来求解斜率

4 斜率

经过上面的分析我们有了:

代替

等式两边同除

两侧取极限:

根据高阶无穷小的定义,可知等式右边为零

略微作一下化简可得:

这个式子中的每个元素都是已知的。

这样如果极限存在,则斜率存在,斜率存在就能求出直线

这就是以直代曲中的直,也就是切线。

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