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如何直观的理解矩阵的秩

我们都知道,秩是矩阵中的重要概念。但是你对它有什么直观的认识吗?

马同学高等数学

本期视频中,我们用筛子作比喻,对秩做一个形象的讲解。

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1 矩阵的作用

秩是矩阵中的重要概念,谈秩肯定是离不开矩阵的。

\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\Longrightarrow 秩为2

\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\Longrightarrow 秩为1

\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\Longrightarrow 秩为0

因此,我们先来看看矩阵的作用。

矩阵完成的是向量空间的映射。

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它负责将左边向量空间的点,映射到右边的向量空间

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如果将左边的区域都用相同的规则进行映射,就可以得到右边的区域

此时,因为秩的不同,映射后的维度会有所不同

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面(维度为2)

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线(维度为1)

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点(维度为0)

可以看到秩越大,映射后图形的维度越高。

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2 矩阵是筛子

因为上面的结论,所以可以将矩阵A看作一个筛子:

那么矩阵的秩rank(A)可以看作筛眼的大小,rank(A)越小对应的筛眼越小(忽略掉筛子的形状,下面用带网格的圆来表示筛子):

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筛眼越小,自然漏过去的越小。

3 矩阵复合的秩

把矩阵的秩看作筛眼的大小还是有一定解释能力的。比如矩阵的秩有如下的性质,该性质也称为矩阵复合的秩:

rank(AB)\leq\min\Big(rank(A),rank(B)\Big)

AB可以看作两个筛子:

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可以用带网格两个圆来表示这两个筛子,可以看到各自的筛眼大小不同,也就是各自的矩阵的秩不相同:

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当这两个筛子叠在一起的时候,叠加部分的筛眼变小了,比单独某一个筛子的筛眼要小:

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所以此时有:

rank(AB) < \min\Big(rank(A),rank(B)\Big)

当然还有可能AB如下:

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这时叠在一起时,叠加部分的筛眼等于其中某一个筛子的筛眼:

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所以此时有;

rank(AB) = \min\Big(rank(A),rank(B)\Big)

综合起来就是:

rank(AB)\leq\min\Big(rank(A),rank(B)\Big)

4 满秩矩阵复合的秩

满秩矩阵P可以看作完全没有筛眼的筛子:

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这样两者复合,筛眼大小就完全取决于A

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所以可得到满秩矩阵复合的性质:

rank(PA)=rank(A)

5 结语

用筛眼比做矩阵的秩

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这个比喻虽然形象,但并不严谨。更多,更系统的线代知识,可以在马同学的网站上进行学习

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