如何直观的理解矩阵的秩

我们都知道,秩是矩阵中的重要概念。但是你对它有什么直观的认识吗?

本期视频中,我们用筛子作比喻,对秩做一个形象的讲解。

1 矩阵的作用

秩是矩阵中的重要概念,谈秩肯定是离不开矩阵的。

因此,我们先来看看矩阵的作用。

矩阵完成的是向量空间的映射。

它负责将左边向量空间的点,映射到右边的向量空间

如果将左边的区域都用相同的规则进行映射,就可以得到右边的区域

此时,因为秩的不同,映射后的维度会有所不同

面(维度为2)

线(维度为1)

点(维度为0)

可以看到秩越大,映射后图形的维度越高。

2 矩阵是筛子

因为上面的结论,所以可以将矩阵看作一个筛子:

那么矩阵的秩可以看作筛眼的大小,越小对应的筛眼越小(忽略掉筛子的形状,下面用带网格的圆来表示筛子):

筛眼越小,自然漏过去的越小。

3 矩阵复合的秩

把矩阵的秩看作筛眼的大小还是有一定解释能力的。比如矩阵的秩有如下的性质,该性质也称为矩阵复合的秩:

可以看作两个筛子:

可以用带网格两个圆来表示这两个筛子,可以看到各自的筛眼大小不同,也就是各自的矩阵的秩不相同:

当这两个筛子叠在一起的时候,叠加部分的筛眼变小了,比单独某一个筛子的筛眼要小:

所以此时有:

当然还有可能如下:

这时叠在一起时,叠加部分的筛眼等于其中某一个筛子的筛眼:

所以此时有;

综合起来就是:

4 满秩矩阵复合的秩

满秩矩阵可以看作完全没有筛眼的筛子:

这样两者复合,筛眼大小就完全取决于

所以可得到满秩矩阵复合的性质:

5 结语

用筛眼比做矩阵的秩

这个比喻虽然形象,但并不严谨。更多,更系统的线代知识,可以在马同学的网站上进行学习

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