泰勒公式系列—完整公式推导

马同学

泰勒公式系列—完整公式推导

1 目标

泰勒公式分为两部分：

$f(x)=\underbrace{\sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n !}(x-x_0)^{n}}_{多项式}+\underbrace{R_{n}(x)}_{余项}$

上个视频中，我们介绍了泰勒公式中的多项式部分如何利用奇偶函数的性质，逼近曲线 $f(x)$ 的：

$f(x)=\sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n !}\color{blue}{(x-x_0)^{n}}+R_{n}(x)$

但系数是多少，余项又是什么都没有交代：

$f(x)=\sum_{n=0}^{N} \color{red}{\underbrace{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n !}}_{系数}}(x-x_0)^{n}+\color{brown}{\underbrace{R_{n}(x)}_{余项}}$

本期视频就来回答这两个问题。

2 总体思路

让我们将泰勒公式展开：

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime}(x_0)}{2 !} (x-x_0)^{2}+\cdots+\frac{f^{(N)}(x_0)}{N !} (x-x_0)^{N}+R_{n}(x)$

泰勒公式的多项式系数是本文要求的，所以将它们用 $a_0,a_1,\cdots,a_N$ 来代替：

$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2 (x-x_0)^{2}+\cdots+a_N (x-x_0)^{N}+R_{n}(x)$

这样，我们要求的就是， $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_N$ 以及 $R_{n}(x)$ ：

$f(x)=\color{red}{a_0}+\color{red}{a_1}(x-x_0)+\color{red}{a_2} (x-x_0)^{2}+\cdots+\color{red}{a_N} (x-x_0)^{N}+\color{red}{R_{n}(x)}$

很显然现在是求不出来的，我们必须根据多项式不断逼近光滑函数的思想对余项 $R_{n}(x)$ 做出假设：

$f(x)=\color{red}{a_0}+\color{red}{a_1}(x-x_0)+\color{red}{a_2} (x-x_0)^{2}+\cdots+\color{red}{a_N} (x-x_0)^{N}+\color{green}{R_{n}(x)}$

再根据假设来推导出各个系数的值：

$f(x)=\color{green}{a_0}+\color{green}{a_1}(x-x_0)+\color{green}{a_2} (x-x_0)^{2}+\cdots+\color{green}{a_N} (x-x_0)^{N}+\color{green}{R_{n}(x)}$

下面来讲述细节。

3 对余项的观察

为了叙述方便，我们用 $d_N$ 来表示余项：

$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2 (x-x_0)^{2}+\cdots+a_N (x-x_0)^{N}+d_N$

下面来观察随着泰勒公式的展开，余项会发生什么变化。

3.1 零次展开

泰勒公式的零次展开为

$f(x)=a_0+d_0$

其中，多项式部分( $a_0$ )为过展开点的一条横着的直线：

零次展开的多项式与光滑函数的差值为余项 $d_0$ ：

3.2 一次展开

泰勒公式的一次展开为

$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+d_1$

此时，多项式函数( $a_0+a_1(x-x_0)$ )为一条斜着的直线：

相应的，一次展开的多项式与光滑函数的差值为余项 $d_1$ ：

可以看到差值在缩小，也就是

$d_1<d_0$

3.3 二次展开

同样的道理，泰勒公式二次展开时，多项式为二次函数：

$f(x)=\underbrace{a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2}_{多项式}+d_2$

该多项式函数为过展开点的二次曲线：

此时，二次展开的多项式函数与光滑函数的差值为余项 $d_2$ ：

差值继续缩小，也就是

$d_2<d_1$

3.4 $N$ 次展开

泰勒公式 $N$ 次展开时，多项式为 $N$ 次函数：

$f(x)=\underbrace{a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_{N}(x-x_0)^{N}}_{N次函数}+d_N$

对应的图像为过展开点的 $N$ 次曲线：

此时，多项式函数与光滑曲线的差值为余项 $d_N$ ：

3.5 余项的趋势

用 $d_0,d_1,\cdots,d_N$ 表示从零次展开到 $N$ 次展开的余项。

$\begin{align}f(x)&=a_0+d_0\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+d_1\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+d_2\\ &\cdots\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_N(x-x_0)^N+d_N\end{align}$

可以看到，随着多项式的展开，余项在不断减小。

$d_0>d_1>d_2>\cdots>d_N$

找到余项这个规律，下面我们尝试用数学符号把余项表示出来。

4 余项

将 $x_0$ 附近范围的半径用 $\Delta x$ 表示：

4.1 零次展开

零次展开时的余项是 $d_0$ ：

此时可以看到，在 $\Delta x$ 不断缩小时， $d_0$ 都在不断靠近零：

由此可以假设 $d_0$ 是关于 $\Delta x$ 的无穷小，用 $\alpha(\Delta x)$ 表示：

则此时泰勒公式展开为：

$f(x)=a_0+\alpha(\Delta x)$

4.2 一次展开

一次展开后，多项式为一条斜着的直线，余项也随之缩小：

要达到上图的目的，需要在零次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将 $d_0=\alpha(\Delta x)$ 展开为 $a_1(x-x_0)+d_1$ ，其中 $d_1=o(\Delta x)$ ：

$\alpha(x)=a_1(x-x_0)+o(\Delta x)$

上面的等式右侧验证一下就知道的确是 $\Delta x$ 的同阶无穷小：

$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a_1(x-x_0)+o(\Delta x)}{\Delta x}=a_1$

所以一次展开后的泰勒公式为：

$\begin{align}f(x)&=a_0+\color{red}{\alpha(\Delta x)}\\ &=a_0+\color{red}{a_1(x-x_0)+o(\Delta x)}\end{align}$

上面的展开结果可以用图表示为：

4.3 二次展开

二次展开后，多项式为二次曲线，余项也随之缩小：

要达到上图的目的，需要在一次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将 $d_1=o(\Delta x)$ 展开为 $a_2(x-x_0)^2+d_2$ ，其中 $d_2=o(\Delta x^2)$ ：

$o(\Delta x)=a_2(x-x_0)^2+o(\Delta x^2)$

上面的等式右侧验证一下就知道的确是 $\Delta x$ 的高阶无穷小：

$\lim_{\Delta x}\frac{a_2(x-x_0)^2+o(\Delta x^2)}{\Delta x}=0$

所以二次展开后的泰勒公式为：

$\begin{align}f(x)&=a_0+\alpha(\Delta x)\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+\color{red}{o(\Delta x)}\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+\color{red}{a_2(x-x_0)^2+o((\Delta x)^2)}\end{align}$

上面的展开结果可以用图表示为：

4.4 $N$ 次展开

不断重复上面的思路，不断拆分余项，拆分 $N$ 次后可以假设余项为 $o((\Delta x)^n)$ ,这样泰勒展开式为

$\begin{align}f(x)&=a_0+\alpha(\Delta x)\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+o(\Delta x)\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+o((\Delta x)^2)\\ &\cdots\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_N(x-x_0)^N+o((\Delta x)^n)\end{align}$

4.5 小结

前面我们根据多项式不断靠近光滑函数，假设出了各个余项

$\begin{align}f(x)&=a_0+\color{blue}{\alpha(\Delta x)}\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+\color{blue}{o(\Delta x)}\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\color{blue}{o((\Delta x)^2)}\\ &\cdots\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_N(x-x_0)^N+\color{blue}{o((\Delta x)^n)}\end{align}$

下面我们就要根据这个假设来推导多项式的系数了

$\begin{align}f(x)&=\color{red}{a_0}+\alpha(\Delta x)\\ &=\color{red}{a_0}+\color{red}{a_1}(x-x_0)+o(\Delta x)\\ &=\color{red}{a_0}+\color{red}{a_1}(x-x_0)+\color{red}{a_2}(x-x_0)^2+o((\Delta x)^2)\\ &\cdots\\ &=\color{red}{a_0}+\color{red}{a_1}(x-x_0)+\color{red}{a_2}(x-x_0)^2+\cdots+\color{red}{a_N}(x-x_0)^N+o((\Delta x)^n)\end{align}$

5 系数

求解系数之前，我们首先用 $x-x_0$ 把 $\Delta x$ 进行替换

$\begin{align}f(x)&=a_0+\alpha(x-x_0)&(1)\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+o(x-x_0)&(2)\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)&(3)\\ &\cdots\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_N(x-x_0)^N+o((x-x_0)^N)&(N)\end{align}$

式一

5.1 计算 $a_0$

下面根据式一的第(1)行计算 $a_0$

$\begin{align}&f(x)=a_0+\alpha(x-x_0)\\\\ &\Longrightarrow a_0=f(x)-\alpha(x-x_0)\\\\ &\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}a_0=\lim_{x\to x_0}\left[f(x)-\alpha(x-x_0)\right]\\\\ &\Longrightarrow a_0=f(x_0)\end{align}$

5.2 求解 $a_1$

将 $a_0=f(x_0)$ 带入式一种的第(2)行，可以得到:

$\begin{align}&f(x)=f(x_0)+a_1(x-x_0)+o(x-x_0)\\\\ &\Longrightarrow a_1=\frac{f(x)-f(x_0)-o(x-x_0)}{x-x_0}\\\\ &\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}a_1=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-o(x-x_0)}{x-x_0}\\\\ &\Longrightarrow a_1 = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-\lim_{x\to x_0}\frac{o(x-x_0)}{x-x_0}\\\\ &\Longrightarrow a_1 = f'(x_0)\end{align}$

5.3 求解 $a_2$

将 $a_0=f(x_0),a_1=f'(x_0)$ 带入式一的第(3)行可得(运算中用到洛必达):

$\begin{align}f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)\\\\ &\Longrightarrow a_2=\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-o(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2}\\\\ &\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}a_2=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-o(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2}\\\\ &\Longrightarrow a_2=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}- \lim_{x\to x_0}\frac{o(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2}\\\\ &\Longrightarrow a_2=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{2(x-x_0)}\\\\ &\Longrightarrow a_2=\frac{1}{2!}f''(x_0)\end{align}$

5.4 推广

照此推广下去，可得:

$a_{0}=f\left(x_{0}\right), a_{1}=f^{\prime}\left(x_{0}\right), a_{2}=\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right), \cdots, a_{N}=\frac{1}{N !} f^{(N)}\left(x_{0}\right)$

则 $N$ 次展开的展开式为:

$f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(N)}\left(x_{0}\right)}{N !}\left(x-x_{0}\right)^{N}+o\left((x-x_0)^N\right)$

整理后，就得到了泰勒公式的完整表达

$f(x)=\sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n !}(x-x_0)^{n}+o\left((x-x_0)^N\right)$

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