泰勒公式系列之二--完整公式推导

1 目标

泰勒公式分为两部分:

上个视频中,我们介绍了泰勒公式中的多项式部分如何利用奇偶函数的性质,逼近曲线的:

但系数是多少,余项又是什么都没有交代:

本期视频就来回答这两个问题。

2 总体思路

让我们将泰勒公式展开:

泰勒公式的多项式系数是本文要求的,所以将它们用来代替:

这样,我们要求的就是,以及

很显然现在是求不出来的,我们必须根据多项式不断逼近光滑函数的思想对余项做出假设:

再根据假设来推导出各个系数的值:

下面来讲述细节。

3 对余项的观察

为了叙述方便,我们用来表示余项:

下面来观察随着泰勒公式的展开,余项会发生什么变化。

3.1 零次展开

泰勒公式的零次展开为

其中,多项式部分()为过展开点的一条横着的直线:

零次展开的多项式与光滑函数的差值为余项

3.2 一次展开

泰勒公式的一次展开为

此时,多项式函数()为一条斜着的直线:

相应的,一次展开的多项式与光滑函数的差值为余项

可以看到差值在缩小,也就是

3.3 二次展开

同样的道理,泰勒公式二次展开时,多项式为二次函数:

该多项式函数为过展开点的二次曲线:

此时,二次展开的多项式函数与光滑函数的差值为余项

差值继续缩小,也就是

3.4 次展开

泰勒公式次展开时,多项式为次函数:

对应的图像为过展开点的次曲线:

此时,多项式函数与光滑曲线的差值为余项

3.5 余项的趋势

表示从零次展开到次展开的余项。

可以看到,随着多项式的展开,余项在不断减小。

找到余项这个规律,下面我们尝试用数学符号把余项表示出来。

4 余项

附近范围的半径用表示:

4.1 零次展开

零次展开时的余项是

此时可以看到,在不断缩小时,都在不断靠近零:

由此可以假设是关于的无穷小,用表示:

则此时泰勒公式展开为:

4.2 一次展开

一次展开后,多项式为一条斜着的直线,余项也随之缩小:

要达到上图的目的,需要在零次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将展开为,其中

上面的等式右侧验证一下就知道的确是的同阶无穷小:

所以一次展开后的泰勒公式为:

上面的展开结果可以用图表示为:

4.3 二次展开

二次展开后,多项式为二次曲线,余项也随之缩小:

要达到上图的目的,需要在一次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将展开为,其中

上面的等式右侧验证一下就知道的确是的高阶无穷小:

所以二次展开后的泰勒公式为:

上面的展开结果可以用图表示为:

4.4 次展开

不断重复上面的思路,不断拆分余项,拆分次后可以假设余项为,这样泰勒展开式为

4.5 小结

前面我们根据多项式不断靠近光滑函数,假设出了各个余项

下面我们就要根据这个假设来推导多项式的系数了

5 系数

求解系数之前,我们首先用进行替换

式一

5.1 计算

下面根据式一的第(1)行计算