泰勒公式分为两部分:
上个视频中,我们介绍了泰勒公式中的多项式部分如何利用奇偶函数的性质,逼近曲线
但系数是多少,余项又是什么都没有交代:
本期视频就来回答这两个问题。
让我们将泰勒公式展开:
泰勒公式的多项式系数是本文要求的,所以将它们用
这样,我们要求的就是,
很显然现在是求不出来的,我们必须根据多项式不断逼近光滑函数的思想对余项
再根据假设来推导出各个系数的值:
下面来讲述细节。
为了叙述方便,我们用
下面来观察随着泰勒公式的展开,余项会发生什么变化。
泰勒公式的零次展开为
其中,多项式部分(
零次展开的多项式与光滑函数的差值为余项
泰勒公式的一次展开为
此时,多项式函数(
相应的,一次展开的多项式与光滑函数的差值为余项
可以看到差值在缩小,也就是
同样的道理,泰勒公式二次展开时,多项式为二次函数:
该多项式函数为过展开点的二次曲线:
此时,二次展开的多项式函数与光滑函数的差值为余项
差值继续缩小,也就是
泰勒公式
对应的图像为过展开点的
此时,多项式函数与光滑曲线的差值为余项
用
可以看到,随着多项式的展开,余项在不断减小。
找到余项这个规律,下面我们尝试用数学符号把余项表示出来。
将
零次展开时的余项是
此时可以看到,在
由此可以假设
则此时泰勒公式展开为:
一次展开后,多项式为一条斜着的直线,余项也随之缩小:
要达到上图的目的,需要在零次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将
上面的等式右侧验证一下就知道的确是
所以一次展开后的泰勒公式为:
上面的展开结果可以用图表示为:
二次展开后,多项式为二次曲线,余项也随之缩小:
要达到上图的目的,需要在一次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将
上面的等式右侧验证一下就知道的确是
所以二次展开后的泰勒公式为:
上面的展开结果可以用图表示为:
不断重复上面的思路,不断拆分余项,拆分
前面我们根据多项式不断靠近光滑函数,假设出了各个余项
下面我们就要根据这个假设来推导多项式的系数了
求解系数之前,我们首先用
下面根据式一的第(1)行计算