矩阵运算中维度变化的规律

马同学

矩阵运算中维度变化的规律—秩零化度定理

相信同学们都知道，矩阵运算会带来维度变化。

那么这个变化遵循什么规律吗？

今天我们就来学习一下。

1 维度消失

我们知道，矩阵运算完成的是一个向量空间到另一个向量空间间的映射

而根据秩的不同，映射后的维度也会有所不同。

假设左边是个面

经过满秩矩阵运算后，右边也是个面

如果是非满秩矩阵，则右边是根线

如果是零矩阵，则右边是个点

只要不是满秩矩阵，矩阵运算总有维度损失。

那么消失的维度去哪里了呢？

它们都被压缩到了零点

也就是

$映射前的维度=映射后的维度+被压缩到零点的维度$

我们来看两个例子

2 例子

2.1 非满秩

在非满秩矩阵时，映射前是面，映射后是线

则映射前的维度是2，映射后的维度是1

$\underbrace{映射前的维度}_{2}=\underbrace{映射后的维度}_{1}+被压缩到零点的维度$

下面标出零点

映射过程展示如下：

可以看到，此时是一条线被 $\vec{0}$ 点

则此时被压缩到零点的维度为1

$\underbrace{映射前的维度}_{2}=\underbrace{映射后的维度}_{1}+\underbrace{被压缩到零点的维度}_{1}$

2.2 零矩阵

在零矩阵时，映射前是面，映射后是点

则映射前的维度是2，映射后的维度是0

$\underbrace{映射前的维度}_{2}=\underbrace{映射后的维度}_{0}+被压缩到零点的维度$

而零矩阵映射后的那个点就是 $\vec{0}$ 点

映射过程展示如下：

可以看到，此时整个面都被映射到了 $\vec{0}$ 点

则此时被压缩到零点的维度为2

$\underbrace{映射前的维度}_{2}=\underbrace{映射后的维度}_{0}+\underbrace{被压缩到零点的维度}_{2}$

2.3 结论

这两个例子说明:

$映射前的维度 = 映射后的维度+被压缩到零点的维度$

确实是成立的。这就是维度所遵循的规律。这个规律被称为秩－零化度定理

$\underbrace{映射前的维度=映射后的维度+被压缩到零点的维度}_{秩－零化度定理}$

下面我们来看看它的一般代数形式。

3 秩－零化度定理

3.1 映射前

假设矩阵 $A$ 的大小为 $m\times n$ 。

根据合法性原则可得,映射前的空间是 $n$ 维空间

$\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\quad&\quad&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}}_{m\times \color{red}{n}}\underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}}_{ \color{red}{n}\times 1}$

$\underbrace{映射前的维度}_{n}=映射后的维度+被压缩到零点的维度$

3.2 映射后

再根据矩阵运算法则，可知映射后的空间为矩阵列向量张成的空间

$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\quad&\quad&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=x_1\color{blue}{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix}}+x_2\color{blue}{\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots+ x_n\color{blue}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{mn}\end{pmatrix}}$

这个空间的维度就是 $rank(A)$

$\underbrace{映射前的维度}_{n}=\underbrace{映射后的维度}_{rank(A)}+被压缩到零点的维度$

3.3 齐次方程解集的维度

从前面的学习可以看到，被压缩到的零点的向量，其实齐次方程 $A\vec{x}=\vec{0}$ 的解集。