矩阵运算中维度变化的规律--秩零化度定理

秩的应用

相信同学们都知道,矩阵运算会带来维度变化。

那么这个变化遵循什么规律吗?

今天我们就来学习一下。
1 维度消失

我们知道,矩阵运算完成的是一个向量空间到另一个向量空间间的映射

而根据秩的不同,映射后的维度也会有所不同。

假设左边是个面

经过满秩矩阵运算后,右边也是个面

如果是非满秩矩阵,则右边是根线

如果是零矩阵,则右边是个点

只要不是满秩矩阵,矩阵运算总有维度损失。

那么消失的维度去哪里了呢?

它们都被压缩到了零点

也就是

我们来看两个例子

2 例子
2.1 非满秩

在非满秩矩阵时,映射前是面,映射后是线

则映射前的维度是2,映射后的维度是1

下面标出零点

映射过程展示如下:

可以看到,此时是一条线被

则此时被压缩到零点的维度为1

2.2 零矩阵

在零矩阵时,映射前是面,映射后是点

则映射前的维度是2,映射后的维度是0

而零矩阵映射后的那个点就是

映射过程展示如下:

可以看到,此时整个面都被映射到了

则此时被压缩到零点的维度为2

2.3 结论

这两个例子说明:

确实是成立的。这就是维度所遵循的规律。这个规律被称为秩-零化度定理

下面我们来看看它的一般代数形式。

3 秩-零化度定理
3.1 映射前

假设矩阵的大小为

根据合法性原则可得,映射前的空间是维空间

3.2 映射后

再根据矩阵运算法则,可知映射后的空间为矩阵列向量张成的空间

这个空间的维度就是

3.3 齐次方程解集的维度

从前面的学习可以看到,被压缩到的零点的向量,其实齐次方程的解集。

将这个解集的秩用表示,则:

3.4 完整表述

最后,它的完整表达如下:

设矩阵的大小为,元齐次方程组的解集的秩为,则

这个定理被称为:秩--零化度定理。它就是矩阵运算中,维度所遵循的变化规则。

关注马同学
马同学高等数学
微信公众号:matongxue314