在小学我们就学习了角度，然后到了初高中才学习了弧度，但弧度这个后来者却成为了数学中的重要组成部分，取角度而代之，这是为什么？

简单的回答就是，弧度使得代数运算更简单，下面来详细解释下。

往下面看的时候需要你对角度、弧度有所了解，如果不清楚可以先看“为什么会有弧度制”这篇文章，还可以扩展看下这里和这里。

首先来清晰下本文要解决的问题，让我们从角的定义说起。角可看作是旋转运动的产物：

角的大小可以用多种方式来度量：

解释下上面这个动画：

• 角度是这么度量的：当没有旋转时，角的大小记作，当旋转了时，记作，旋转一周记作
• 弧度是这么度量的：当没有旋转时，角的大小记作，旋转了时，记作，旋转一周记作
• 当然还可以有别的度量方式，比如没有旋转时，角的大小记作，旋转一周记作，等等

在这么多计量方式中，弧度会使得代数运算更简单，这就是本文要解释的核心问题。

我们先通过直觉来解释下为什么弧度会更好：

        （1）角度认为旋转一周，数值会从变化到。这种计量方法是古巴比伦人发明的，可能源于古巴比伦一直使用进制，还可能因为容易被整除，其真因数除了和自身以外，一共有个（、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、），所以很多特殊角的角度都是整数。

不过从数学角度看，上面的理由都不太重要，古巴比伦人这样发明其实蛮随意的。

        （2）而弧度认为旋转一周，数值会从变化到，这种计量方法包含了圆周率，这是圆的本质特征，所以它会是更好的计量方法。

下面再来定量的分析，通过计算来展示下弧度是更好的计量方法。

假设圆的半径为，其中有某角：

如果用弧度（下面用表示采用的是弧度）来计算弧长以及扇形的面积，因为弧度包含了圆周率，所以结果很简单：

而用角度（下面用表示采用的是角度）来计算的话，其结果会更复杂：

在微积分中有一个重要的极限，用弧度和角度得到的答案也不一样。

首先引入一个单位圆，从中取角：

在中，根据三角函数，容易得到以及：

以及：

借助上一节推导过弧度下的扇形面积，上面不等式可以写作：

最终利用夹逼定理可以求出：

如果用角度的话，那么这些不等式：

借助角度下的扇形面积，可以写作：

说明下，上面的和是角度制下的三角函数，它们接受角度值，和弧度制下的三角函数关系为：

接着用夹逼定理，最终可得：

基于上述重要极限的求解，可得弧度制下的导数为：

通过链式法则就可以得到角度制下的导数为：

可以看到，在弧度制下，从弧长计算开始就很简单，这种简单一直延续到各种计算：

可以想象，除了上述结果外，各种三角函数、对应泰勒级数等在弧度制下都会最简单，所以我们会使用弧度。