《相似矩阵与二次型》是我们线性代数课程里的最后一个单元。

从名字就可以看出，它其实有两部分内容

每一部分的信息密度都很大，这导致在学习过程中容易迷失主线。这篇文章就对“相似矩阵”部分进行一个主线的梳理。

提出相似矩阵实际上是基于两个问题。

问题一:非自然基下的映射如何完成

问题二:矩阵的幂该如何计算

对于问题一，我们是把它换到熟悉的自然基下去解决

利用坐标转换

非自然基下的映射就可以表示为

与就是相似矩阵。

问题二稍显复杂，要进行拆解，首先对幂运算进行观察

对于问题二，利用相似矩阵的定义式，我们可以把的幂运算表示为:

而不断的利用结合律,可以消去与

这样

此时，如果是一个对角阵

那么

这就大大简化了计算

在学习了相似对角化后，我们知道。若能换到以其特征向量为基的空间下

则在这个基下的相似矩阵一定为对角阵

此时

就是的相似对角化矩阵