如何用行列式求解椭圆的面积

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马同学

如何用行列式求解椭圆的面积

同学们大家好，今天我们来学习如何用行列式计算椭圆的面积。

1 中学的思路

在中学的时候，我们是这样推导的。设椭圆的焦点在 $x$ 轴上，半长轴和半短轴为 $a,b$ ，则它的图像是这样的。

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在里面画上一个单位圆

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直观上，我们可以看出，它是单位圆在 $x$ 轴上增长 $a$ 倍， $y$ 轴上增长 $b$ 倍形成的

如果，把单位圆看成是若干个矩形组成的。

那么，在圆变成椭圆的过程中，就是把矩形的两条边增大了 $a$ 倍和 $b$ 倍。

这样椭圆的面积就是单位圆的 $ab$ 倍,从而得出椭圆面积为 $\pi ab$

$椭圆的面积=\underbrace{单位圆的面积}_{\pi\times1^2}\times =a\times b =\pi ab$

这个方法虽然很直观，但缺乏严谨性。比如肉眼可见的，左边部分的矩形并没填满圆，右边部分的矩形又超过了圆。

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2 思想

下面，我们借用线代的工具来完成椭圆面积的推导，思路还是刚刚那个思路。将单位圆在 $x$ 轴上增长 $a$ 倍， $y$ 轴上增长 $b$ 倍形成椭圆。

只是把这段过程，用矩阵来描述

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假如我们可以将圆与椭圆用向量来表示，并且求解出变换矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。那么根据行列式的几何意义可以知道，变换后的面积，比上变换前的面积，就等于行列式。这样

$椭圆面积=|\boldsymbol{A}|*单位圆面积$

3 圆和椭圆的表示

思路有了，下面开始具体操作。首先写出圆的参数方程,因为单位圆的半径为1，所以其参数方程为

$\begin{cases}x=\cos\theta\\y=\sin\theta\end{cases} (0\leq \theta\leq 2\pi)$

据此，将它改写成一个二维向量

$\begin{cases}x=\cos\theta\\y=\sin\theta\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}$

这个向量存在在二维平面中，当 $\theta$ 取具体值时，它就是平面上的一个点,当 $\theta$ 在 $0$ 到 $2\pi$ 范围内变化时，它就是圆

同样的，根据椭圆的参数方程，可以写出其向量形式

$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cos\theta\\b\sin\theta\end{pmatrix}$

圆和椭圆现在都已经写成向量形式了，下面就还剩下映射矩阵需要求解

4 求解矩阵

要求解这个矩阵，还是要回到单位圆变椭圆的思路上来

可以看到，这个变化过程分为两步，第一步是在横向上拉长 $a$ 倍,第二步就是在竖直方向上拉长 $b$ 倍

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这样，很容易看出两次变换所用的矩阵

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继而求出变换矩阵

$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}$

将它作用在单位圆上,得到的结果和刚刚椭圆的表达式相同。

$\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cos\theta\\b\sin\theta\end{pmatrix}$

这再次说明了变换矩阵就是 $\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}$

5 结论

最后，根据行列式的几何意义可知

$椭圆面积=|\boldsymbol{A}|*单位圆面积$

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将 $|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}a&0\\0&b\end{vmatrix}=ab$ ,单位圆面积= $\pi$ 带入上式可得

$椭圆面积=\pi ab$

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