同一个二次曲线，在不同基下需要用不同的二次型矩阵表示。这两个二次型矩阵就称为合同矩阵。

假设我们有这样一个椭圆,它在直角坐标系下的对应方程为

下面，我们这个方程用二次型表示为

其中就是椭圆上的点在自然基下的坐标

既然椭圆可以表示在自然基下，当然也可以表示在非自然基下

假设椭圆在某非自然基的对应方程为

就是椭圆上的点在非自然基下的坐标

可以看到，是同一个椭圆在不同基下对应的二次型,它们就被称为合同矩阵。

而我们知道，若满足

它们才能称为合同阵,那这又是怎么得来的呢？下面我们就来推导一下

假设由自然基到非自然基的过渡矩阵为

首先，根据坐标变换公式有

然后，将这个式子与左边的椭圆方程联立

最后，令

这样，我们就得到了上面那幅图中，曲线在非自然基下的表达式

求此曲线在坐标系下的表达式

本题，我们可以利用合同矩阵的知识来做

(1)首先,将曲线用向量形式，表示在自然基下

(2)然后,利用过渡矩阵，对向量空间进行换基

(3)最后,再将新的基下的曲线写回一般方程的形式

这样，我们可以就利用黄色路径来完成题目

(2)令非自然基的坐标向量为,则

其中为旋转矩阵

那么曲线在非自然基下的表达式为

带入数据,整理后可得

这里的就是的合同矩阵

(3)最后将非自然基下这个矩阵方程写回坐标系,得到曲线在下的表达式为