我们所说的微分中值定理，一般指三大微分中值定理。它包含

• 以米歇尔·罗尔的名字命名的--罗尔中值定理
• 以约瑟夫·路易·拉格朗日的名字命名的--拉格朗日中值定理
• 以及以奥古斯丁-路易·柯西的名字命名的--柯西中值定理

其中罗尔中值定理是基础,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的推广。那么它们到底在讲什么呢？这节课，我们就来学习它们中的第一个，罗尔中值定理。

若是这样一个函数,在内闭区间连续，开区间可导。则，在区间内，至少存在一个导数为零的点。而我们知道，导数就是切线的斜率。斜率为零，意味着是水平的。那么存在一个导数为零的点，从几何上看，就是存在一个点，这个点的切线是水平的。

对于折返跑，相信大家并不陌生,它的最大特点是，起点和终点在同一个位置。

下面，我们以时间为横坐标,位移为纵坐标建立坐标系。假设开始的时刻为,此时的位移为。

当跑到最远位置的时候,位移最大，也就是函数值来到了最高点。

可以看到，此时这个时间位移函数,在内,闭区间连续,开区间可导,且在起点时刻(),与终点时刻(),的函数值()是相同的,也就是说，这个时间位移函数，是符合罗尔中值定理的条件的。

那么按照定理的描述，就应该有个点导数为零,哪个点呢---最高这个点。

因为纵坐标为位移，那么最高这个点，其实就是距离起点最远的这个位置,此时折返跑要完成转向,因此必然出现一个速度为零的时刻。

而我们知道，瞬时速度就是位移相对于时间的导数,假设我们在这个时间点,速度为零,那么过点的切线就是水平的

罗尔中值定理中说的是，导数为零的点至少有一个，隐含意思是，导数为零的点可能有多个。

不少同学会疑惑，能不能将罗尔中值定理的条件进行如下修改？

答案是不可以，因为这样的修改并不等价，比如：

上述函数就刚好满足“在闭区间上连续，在开区间上可导”，其在端点和处，它也是可以运用罗尔中值定理的，即使得（甚至还有无穷多个）：