前面我们已经学习了罗尔中值定理,和拉格朗日中值定理，它们的相同点是，研究的曲线都能用函数来表示。那假如曲线不能被函数表示呢，用柯西中值定理。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。如果，我们把研究对象扩展到两个函数，然后，将结论,再加上分母不为零的条件。那么拉格朗日中值定理，就成了我们的柯西中值定理

定义看完了，下面来看看它的几何意义

要直观理解柯西中值定理，需要将和组成参数方程组。为了符合习惯，这里的自变量用来表示，即假设有参数方程：

下面以为横坐标,为纵坐标，建立坐标系。起点为时的位置,终点为时的位置。

连接起点与终点，做出一条割线,那么表示的就是割线的斜率。而,表示的是，这个位置，切线的斜率。

这样柯西中值定理的结论就是,曲线上至少有一点，它的切线的斜率与割线斜率是相等的。从几何上来讲，也就是这个点的切线，与割线是平行的。

前面说过，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，这在几何上就可以体现。比如下面这条蓝色曲线，因为它能用函数表示，且闭曲间连续，开区间可导。所以符合拉格朗日中值定理。

下面假设,那么实际上，这条曲线也可以用参数方程来表示,因此，它也是符合柯西中值定理的。

还是这条曲线,固定起点不变,对终点进行拉伸,此时，这条曲线无法再用函数表示，也就不符合拉格朗日中值定理。

现在，我们将横坐标用表示,纵坐标用表示,那么，它符合的是柯西中值定理。

把两张图放在一起，可以很明显地看出，拉格朗日中值定理仅为时的特殊情况。

首先来看一个错误的证明方法:

上述方法是错误的。因为对于两个不同的函数和,中的未必相同，比如下面两个函数

• ，在上使得成立的
• ，在上使得成立的

假如将函数,与函数联合在一起，建立参数方程

那么，以为横坐标，为纵坐标建立坐标系,做出自变量在0到1范围内的参数方程图像。可以看到,当自变量取值为时，满足柯西中值定理。

从这个例子我们就可以看出，这种方法是不正确的。

正确的证明方法如下: