二阶行列式可以通过对角线法则来记忆：

三阶行列式也可以通过对角线法则来记忆:

而四阶行列式就复杂很多，展开是这样的

它并不能按照对角线法则来记忆，遵循的运算法则是行列式的定义。

在定义中，最重要的就是下面这个式子。其中，左边(绿色)部分是行列式的几种表示方法，右边(蓝色)部分是行列式的计算法则

在计算法则

中是行列式中的元素，是由所决定的实数。

这样，就表示，顺序在每一行中取一个元素，然后将它们乘起来。而表示，这一项的系数可能是,也可能是。将连加式展开可得

为了计算这个连加式，我们要解决如下三个问题

• 每一项的元素如何取
• 每一项到底是正的还是负的
• 总共有多少项

我们先来看第一个问题每一项的元素如何取。

在中，下标第一个位置是顺序排列的。而是数字到的全排列。

以为例，下面中几组排列，都是到的全排列。

每一个全排列就对应一组，如对应的就是，

对应的项就是：

下面我们来看，系数是还是

很明显，系数是还是由幂指数决定，而是被称为全排列的逆序数。

以全排列为例，它的逆序数为3。具体计算过程是:

先以前两个位置为一组进行比较，可以看到，前面的数字比后面的数字大，因此需要进行对换，此时对换次数为1

接着比较第二和第三个位置，因为前面的数字比后面的数字小，因此，不需要对换

然后比较第三和第四个位置，同样因为前面的数字比后面的数字小，因此，不需要对换

最后比较第四和第五个位置，因为前面的数字比后面的数字大，所以需要进行对换，此时对换次数为2

这样，第一轮比较就结束了。

第一轮比较后，还没能将排列变为顺序排列，因此需要第二轮比较。第二轮按照相同的规则进行。当比较到第三和第四个位置时，发现需要进行对换,此时对换次数为3

经过这次对换后，排列变成了顺序排列。因此全排列的逆序数为,所以

这样，这一项的系数就为。

最后，我们来看，总共有多少项

这里的项数其实就是全排列的个数。由排列组合的知识，我们知道，到的全排列总共有个，因此阶行列式的展开式就有项。

以三阶行列式为例，的全排列总共有个

因此三阶行列式可以展开为:

和前面对角线法则得到的结果对比一下，可以看到六项是一样的