该方法称为施密特正交化（Gram–Schmidt process）。

施密特正交化的几何意义是，比如已知中的某向量空间（下图中的蓝色平面）的基为:

那么通过施密特正交化，可借助得到， 就是该向量空间的一个正交基：

下面来解释下施密特正交化是如何推导出来的。

先来讲解下如何寻找二维向量空间。

先从特殊的二维向量空间说起。比如知道的一组基，也就是下图中的两个向量：

只要将其中一个向量对另外一个向量进行投影，就可以得到的正交基：

下面来进行代数推导，假设基为：

任选其一作为，比如选：

作出在上的投影，其垂线向量就是要求的，即：

又投影和在一条直线上，两者线性相关，所以可假设

因此：

因为和正交，所以：

所以：

这样就得到了的一组正交基：

上述方法就是二维空间中的施密特正交化，可以总结如下：

上述推导过程并没有被限制在中，所以它也可以完成开头提到的在三维空间中的平面上寻找正交基的任务：

再来看看如何寻找三维向量空间的正交基。

还是以特殊的三维向量空间为例。比如知道的一组基，也就是下图中的三个向量：

先按照二维平面的方法，将其中任意两个向量正交化：

然后向这两个正交向量的张成空间作垂线，从而得到三个正交向量，也就是的一组正交基：

下面来进行代数推导，假设基为、和：

任选两个向量，按照上一节介绍的方法将其中任意两个向量正交化，得到和：

作出在上的投影，连接和就得到要求的垂线向量：

因为和构成三角形，所以根据向量减法的几何意义有

又投影在的张成平面上，所以的线性组合，可假设

因此：

因为垂直于的张成平面，所以必然垂直于和，所以有：

注意到和正交，即有，根据上面的方程组可以分别推出：

所以：

这样就得到了的一组正交基：

上述方法就是三维空间中的施密特正交化，可以总结如下：

更高维度的情况以此类推,从而得到