在空间解析几何中,旋转曲面的研究是个重点。但在《高等数学》教材里，要求掌握的旋转曲面又很多，在不理解的情况下，很难想象出这些曲面是如何通过旋转得到的。本文就会从图像入手，给出旋转曲面的生成动画，帮助同学们建立直观。

比如在下图中，左侧是面内的某曲线，右侧是将该曲线作为母线，绕轴旋转一周得到的旋转曲面。

下面详细推导下面上的曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程，其它的情况可自行举一反三，后面的例子中也会有所涉及。

以下图为例，其中有面上的曲线及其上的任一点，以及曲线绕轴旋转一周所成的某旋转曲面，还有点旋转后所得的该旋转曲面上的任一点。

设曲线的方程为，点的坐标为，点的坐标为，可推出：

• 因点为曲线上的任一点，所以有
• 因点由点绕轴旋转所得，该变换过程不会改变坐标，所以有
• 因点由点绕轴旋转所得，该变换过程也不会改变和轴的距离，所以点与轴的距离等于以点与轴的距离，如下图所示。

  从而可以推出：

综上，所以有：

也就是说，满足方程。因为点是旋转曲面上的任一点，所以也是该旋转曲面的方程。

如下图所示，左侧是面内的某直线，右侧是将该直线绕轴旋转一周所成的旋转曲面，称为 圆锥面 （Cone surface）。

面内的某直线方程可写作，其中为该直线的斜率。根据上面的分析，将其中的改写为就得到了该圆锥面的方程，即：

如下图所示，左侧是面内的某双曲线，右侧是将该双曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面，称为 旋转单叶双曲面 （Hyperboloid of one sheet）。

面内的某双曲线的方程为，其中、为常数。根据上面的分析，将其中的改写为就得到了该旋转单叶双曲面的方程，即：

如下图所示，左侧是面内的某双曲线，右侧是将该双曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面，称为 旋转双叶双曲面 （Hyperboloid of two sheets）。

面内的某双曲线的方程为，其中、为常数。根据上面的分析，举一反三，将其中的改写为就得到了该旋转双叶双曲面的方程，即：

如下图所示，左侧是面内的某抛物线，右侧是将该抛物线绕轴旋转一周所成的旋转曲面，称为 旋转抛物面 （Rotational paraboloid）。

面内的某抛物线的方程为，其中为常数。根据上面的分析，将其中的改写为就得到了该旋转抛物面的方程，即：