我们先来看个解压的例子，下面的动图中有很多蓝色小球从顶部掉落，通过不同的路径最终到达底部，所有小球在重力作用下的做功都是相同的，这很好地诠释了【曲线积分的基本定理】。

在《微积分(上)》我们学习过微积分第二基本定理，也就是“牛顿-莱布尼兹公式”，即：

用图来解释的话，上述定理说的是，对于定义在线段上的函数，如下图左侧所示。在一定条件下有定义在线段上的函数，如下图右侧所示，只需要知道两端的和，就可求出。

无疑大大简化了的计算，或者说大大简化了直线积分的计算。实际上也有类似的定理：

上述定理可从两个方面来理解。先说第一个方面，是某有向光滑曲线弧，在其上有，如下图左侧所示。还有数量函数，如下图右侧所示，该数量函数满足。

那么上述定理说的就是，只要知道两端的和就可求出，即：

上式还常改写如下：

其中其实就是（这里用到的是之前介绍时得出过的结论）：

改写后看上去和非常相似，所以上述定理也称为 曲线积分的基本定理 （the Fundamental Theorem for line integrals）。

再来看第二个方面，上述定理意味着从点出发沿任一分段有向光滑曲线弧到达点，如下图所示，的值都为，这就叫做 与路径无关 。

上述定理还可推广到的情况，若、和都连续，且存在一个数量函数使得，则：

曲线积分的基本定理看上去有点神奇，但其实这是物理中的常见现象，我们再通过举例来说明一下。如下图所示，某登山者从山脚出发，沿不同路径的到达山顶。

上图所描述的内容可抽象为下图，其中点、点分别代表山脚的出发点、山顶的终点，而有向曲线弧代表登山的“Path A”路径，代表登山的“Path B”路径。

若登山者的质量为，则登山者在整个登山过程中的受力就为。用课程中的话来说就是，有向曲线弧、处于重力场中，如下图所示，或者说、上的某点对应。

那么、分别计算的就是从点出发，沿路径或沿路径，到达点过程中为了克服重力所作的功、，即：

根据高中物理知识，克服重力所作的功与路径是无关的，只和起点、终点的重力势能有关，所以这里先计算出所需的重力势能。重力势能可以表示为函数，这里的其实就是高度，所以点、点的重力势能、分别为：

则有：

所以，上述计算登山中克服重力做功的例子就很好的展示了曲线积分的基本定理，即曲线积分的计算只和两端点有关，以及曲线积分的计算与路径无关。

最后再验证一下上述计算是否满足条件，这里涉及到了重力势能函数以及重力场，有：

并且重力场中的分量函数是连续的常数函数，所以是满足曲线积分的基本定理中的条件，可以运用该定理。