梯度在中文的意思是坡度。在数学中,它也是坡度,不过是最陡的那个坡的坡度

由于在数学中,表示描述一个方向上的变化率,用的是方向导数。那么根据前面所说,梯度的值就应该是所有方向导数中的最大者。

上面的定理说明,在可微的情况下,我们可以得到方向导数是偏导数的线性组合。其中下标位置的是这个点的位置。而和分别为两个偏导数与方向向量的夹角

可微分时方向导数的计算方法可改写如下：

改写后,可以看出方向导数是在上的投影。则,当两者不断靠拢时，投影就不会不断变大。而当与同向时,所得投影获得最大值

在我们已经知道了梯度的定义后,就会发现,函数在方向上的方向导数。它就应该等于,梯度在其方向向量上的投影

而这里的,反映在图像上。就是梯度与方向向量的夹角。这样我们就知道

• 时，即方向与梯度相同时，或者说沿着梯度方向时，取得最大值：

• 时，即方向与梯度相反时，或者说逆着梯度方向时，取得最小值：

• 时，即方向与梯度时，为：

根据这个理论,我们可以做出某二元函数在(0,0)点处,所有的方向导数。其中蓝色向量的模长,表示其所在方向的方向导数，红色向量,为函数在此点处的梯度。