在多元的情况下，可微可导的关系要比在一元情况下复杂，但是只是要复杂一些，如果我们从一元开始去理解，你会发现并不困难。

这篇文章主要阐述以下三个概念：

• 偏微分
• 偏导数
• 全微分

全导数这里暂时不讲，看名字好像和全微分关系很大，其实和“方向导数”的关系更大，所以留到讲“方向导数”的时候再一起来说。

在一元函数中的微分就是函数的切线：

关于微分就是切线，我写的很多文章（比如我最近的如何通俗解释全微分？）都希望大家可以理解这一点，虽然要严格讲清楚需要微分几何、流型的知识，但是我认为掌握了这一点对于我们学习微积分很有帮助。

我们发挥一下空间想象力，把它从平面中拽出来，进入三维空间：

之前是平面曲线，现在是空间曲线。切线仍然是切线，微分仍然是微分。

我们再想象一下，其实这个空间曲线是这个空间平面与这个空间曲面的交线：

我们就把这个切线称为对于的偏微分。为什么是对于的呢？因为这是与的交线，在这条线上无论点怎么变化，都要满足，即是常数不会变化。

你来玩玩下面这个互动操作就知道了，点在线上变化只会改变和：

 

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理解了这个，就可以举一反三，所有（为常数）的平面与的交线都是满足刚才说的特点：

这些交线上的点的切线都是关于的偏微分。

当然，如果与（为常数）得到的交线，这些交线的切线就是关于的偏微分。

总结，偏微分就是：

• 固定，变换得到的就是关于的偏微分
• 固定，变换得到的就是关于的偏微分

偏微分理解了偏导数就好理解了，就是偏微分的斜率，现在你应该可以明白为什么我们在求对于的偏导数的时候，我们把当作常数来看待了吧。

只是有一点需要说明，在三维空间中角度可以有不同的定义，计算斜率的时候我们是看下面这个角：

总结，偏导数就是偏微分的斜率。

其实，不光是或者这样的平面可以和相交得到交线，所有和平面垂直的平面都相交得到交线，这些交线都会有切线（微分）：

这个平面相交得到的交线：

这个平面也可以：

总之，应该是360°无死角，自己动手试试：

 

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如果这些切线都存在，并且这些切线（无数条）还都在同一个平面上（平面不是曲面），那么得到的这个平面就是全微分（也叫做切平面，或者说切空间）：

 

Created with GeoGebra

总结，全微分就是：

• 360°微分都存在
• 并且这些微分要共面，得到的就是全微分

根据全微分的定义，如果全微分存在，那么偏导数、偏微分一定存在。

但是反过来不一定成立，即偏导数、偏微分存在，全微分不一定存在。因为偏导、偏微分只是或者方向的导数、微分，而全微分要求的是360°无死角。

举个例子，看这个：

我们考察这个函数在点的全微分和偏微分的情况。

与的交线是：

平面与曲面所交曲线与轴重合：

在点的微分（切线）很明显，就是交线自身，因此关于的偏微分存在。

但是与的交线是：

在点形成了一个尖点，很显然此时的微分不存在：

因此，全微分不存在。

总结，全微分与偏导数、偏微分的关系：

• 全微分存在偏导数、偏微分一定存在
• 偏导数、偏微分存在全微分不一定存在