空间中的曲线我们并不陌生,生活中常见的有弹簧、螺纹等。那如何用数学符号把它们表示出来呢？

首先对于曲线,我们都认为它是由一个点运动产生的。也就是我们所说的点动成线

依照这个观点,我们只需要把所有时刻,点的位置表示出来,那么这条曲线就表示出来了。

那么我们以时间作为自变量,其所对应的三个坐标为因变量。做出三个函数

则当t取得不同值时，得到的就是不同时刻的位置。

由此可见,在一段时间内,曲线可由上述三个函数联立所得方程组表示。

这，就是曲线的参数方程形式。

知道了空间中的曲线可以用参数方程来表示,那具体到螺旋线,它们的表达式是什么呢？我们先来看看弹簧的。

弹簧的曲线可以看做两种运动结合产生的。一种是旋转运动，即在顶视角下,运动轨迹是一个圆。

而在前视角,如果忽略圆周运动，也就是把点投影到轴上。那么就可以观察到,它还在做竖直运动。

也就是说,我们可以认为螺旋线是旋转加竖直运动结合产生的

下面,我们只要分别表示出这两种运动,再将它们相加就可以了。

设时刻点从处开始半径为、角速度为的旋转运动，则时刻后点与轴的夹角为、与原点的距离为，如下图所示。

根据三角函数，容易算出点在时刻的坐标为：

计算只进行上升运动时点的坐标。设时刻点从处以线速度沿着轴的正方向上升，容易算出点在时刻的坐标为：

把二者相结合，可以得到参数方程为因为旋转、上升这两种运动互不影响，所以同时进行这两种运动时，点在时刻的坐标为：

或可改写为参数方程的形式：

有了螺旋线的基础,下面我们来看看螺丝钉的螺纹曲线该如何表示。

如上图所示，这是一种自钻螺丝。其独特的设计使得在没有预先钻孔的情况下，能够利用尖锐的螺丝头直接穿透材料。这种设计使得其下半部分的螺纹曲线从底部向顶部延展时，圈的半径不断扩大。

它与弹簧曲线相似，可以视为圆周运动与竖直运动的结合。不同之处在于，圆的大小不再是恒定的，而是逐渐增大。

显然，圆周运动所在的圆，其半径与旋转的角度成正比。也就是,旋转的角度越大,圆的半径就越大。 假设角速度为,圆的半径与角速度之比为,动点转过的角度为,此时圆的半径就是。

那么在圆周运动的视角下,时刻动点的位置为

由于竖直方向的运动与之前螺旋线的一致。也为

那么将二者相加,这样就可以得到,螺纹曲线上的动点在时刻的坐标为:

其对应的参数方程形式即为：

需要说明的是，刚才提到的那些不断扩大的圆并不是圆周运动所产生的轨迹。它的运动轨迹应该是将各个时刻点的位置连接获得的

可以看到这是一个阿基米德螺旋线，而这确实也是从顶部视角看到的曲线的样子