先把海涅定理列一下：

先把这个定理简化一下，主要意思是：

不同之处主要在于：

所以，离散是连续的抽样，而所有的离散又重新组成了连续。

多说一句，上图实际上可以换一句话来说，所有的实数可以表示为一个数列，并且这个数列还不唯一（这就是柯西数列，也是实数的形式化定义）。

我们继续看看$f(x)$和$f(a_ n)$这两幅图：

$f(a_ n)$实际上是$f(x)$的抽样。

海涅定理其实就是这个意思：

海涅定理最重要的一点，是所有的数列（抽样）才能完全代表整体。不能说我选了某个数列有极限就代表函数有极限。

比如$f(x)=sin\frac{1}{x}$，看过我之前的 如何能更好的理解（ε-δ）语言极限的定义？ ，就知道它在$x=0$点是没有极限的：

比如我取$x_ n=\frac{1}{2n\pi }\to 0$，有$\displaystyle \lim _{n\to \infty }sin\frac{1}{x_ n}=0$，看起来好像极限存在。

但是取$y_ n=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}\to 0$，那么$\displaystyle \lim _{n\to \infty }sin\frac{1}{y_ n}=1$，两者的极限并不相等，所以实际上极限是不存在的。

海涅定理还有一点我没有提到的，就是$a_ n$不等于$a$，这个对应于函数极限的去心邻域。

维基百科上其实没有海涅定理这么一个东西，它在英文世界里面被称为极限的海涅定义，意思是这是极限的另外一种定义，和（ε-δ）语言是完全等价。

总结一下，海涅定理表述了离散与连续、数列极限与函数极限的关系。