全导数是多元函数中的一个概念。

我们知道一元函数的情况下，导数就是函数的变化率，从几何意义上看就是：

但是在多元的情况下比一元的复杂，下面我用二元函数来举例子（三元我也画不出来），比如这样一个曲面上的一点$A$：

在曲面上可以做无数条过$A$点的曲线（图上随便画了三根）：

每根曲线都可能可以（也有作不出来的情况，你想想一元的时候也有作不出切线的情况）作一根切线，比如（随便挑了一根切线来画，都画出来太乱了）：

最精简的回答已经完了，后面我就要讲一些细节了，主要阐述下面两个细节：

• 方向导数、偏导数是特殊的全导数
• 每一根切线都和一个全导数“相关”，这个“相关”是什么意思？难道不就是切线的斜率就是全导数吗？

顺便说一下，如果所有这些切线共面的话，那么这个平面就是切平面（全微分），可以参考我之前的回答 如何直观理解全微分？ 。

1 参数方程

为了继续讲下去，我们需要了解下所需要的技术手段：参数方程。

参数方程的用处很多，下面讲解下我们需要了解的部分。

1.1 通过参数方程来描述所有的曲线

要描述所有这些曲线，我们就需要一些数学手段，这就是参数方程。

我们来看一下，随便画一条过$A$点的曲线：

这条曲线也是一个关于$x,y$的函数$f(x,y)$，因此它与$xy$平面上的曲线具有一一对应的关系：

因此我们只需要描述$xy$上的曲线就可以达到描述曲面的曲线的目的，这时候就很自然的可以使用参数方程了。

举个具体的例子，对于$f(x,y)=x^2+y^2$这个二元函数，函数图像是这样的：

注意此时的$x,y$都可以自由改变：

但是如果增加参数方程：

$$\begin{cases} z=x^2+y^2\\ x=t\\ y=t\end{cases}$$

这有什么意义？此时的$x,y$的变化就受到$\begin{cases} x=t\\ y=t\end{cases}$的约束：

我们来把这根参数方程决定的直线放到三维空间去：

根据之前的描述，这根直线可以决定一根曲面上的曲线：

这根曲面上的曲线就是刚才说过的：

$$\begin{cases} z=x^2+y^2\\ x=t\\ y=t\end{cases}$$

1.2 参数方程可以拍扁三维图像

从另外一个角度看，参数方程可以把三维的图像一巴掌拍扁：

什么意思，我们来看看，还是$f(x,y)=x^2+y^2$这个二元函数：

增加参数方程约束：

$$\begin{cases} z=x^2+y^2\\ x=t\\ y=t\end{cases}$$

把$x,y$代入到$z$里面去，可以得到$z=2t^2$：

这就好比把$xyz$空间的立体图形拍扁到了$zt$平面，这个特性在后面会用到，所以在这里先预热下。

2 全导数、偏导数、方向导数

讲完“所有曲线”之后，我们要来讲这些曲线的切线了，不同的曲线有不同的切线，也就有不同类型的导数。

2.1 全导数

$xy$平面上有很多不同的曲线，这些曲线也总能决定曲面上的曲线。

比如这根$xy$平面的曲线：

可以在某个曲面上决定一个空间曲线：

全导数就和这些空间曲线的切线“相关”（为什么是“相关”我之后再讲）：

2.2 偏导数

$xy$平面上不同类型的曲线中，有一种平行于$x$轴或者$y$轴的直线（以平行于$x$轴举例）：

这根直线决定的空间曲线：

偏导数就是这根曲线的切线的斜率：

2.3 方向导数

$xy$平面不光有平行于坐标轴的直线，还有各种射线，由这些射线决定的曲线：

为什么是射线？我们回想一下一元函数中左可导、右可导的概念：

射线可以类比左可导、右可导中的“左”和“右”。

方向导数也就是这根曲线的“左导数”、“右导数”：

2.4 小结

这里总结一下：

• 过点$A$可以做无数条曲线
• 每根曲线的切线和一个全导数“相关”
• 偏导数、方向导数是其中的特殊的曲线的切线的斜率
• 偏导数、方向导数是特殊的方向导数

3 每根曲线的切线和一个全导数“相关”是什么意思？

之前我一直说，每根曲线的切线和一个全导数“相关”，这个“相关”是什么意思呢？

为什么“偏导数”、“方向导数”都是切线的斜率，而除此之外的全导数不是呢？

3.1 参数方程形式

根据之前我们对参数方程的介绍，全导数、偏导数、方向导数都可以写成参数方程的形式。

全导数：

$$\begin{cases} z=f(x,y)\\ x=x(t)\\ y=y(t)\end{cases}$$

偏导数（以平行于$x$轴的曲线为例，$a$为常数）：

$$\begin{cases} z=f(x,y)\\ x=t\\ y=a+0\times t\end{cases}$$

方向导数（具体的意思我这里不解释了，自己参看书中关于“方向导数”的章节）：

$$\begin{cases} z=f(x,y)\\ x=x_0+tcos\alpha & t\geq 0\\ y=y_0+tcos\beta & t\geq 0\end{cases}$$

3.1.1 拍扁并且变形了

因为都可以写成参数方程，而之前我说过参数有拍扁的特性。

在$xyz$平面中，偏导数的曲线其实位于平行于$x$轴的平面上（关于$x$的偏导数）：

拍扁到$zt$平面：

本身也就是平面，拍扁之后也不会发生变形。

因为偏导是特殊的全导，所以我们可以认为偏导就是$\frac{dz}{dt}$，也就是$zt$平面上切线的斜率：

因为没有拍扁过程中没有发生变形，所以$zt$平面上切线也就是$xyz$空间中的切线。

同样的道理，方向导数的曲线也是位于平面之中的，所以拍扁过程也不会变形。

但是，普通的全导（也就是曲线不在平面中的），拍扁的过程中会变形，比如说还是我之前举的决定全导数的曲线：

把它拍扁到$zt$平面中去：

不得不说看起来还是有那么一点像，不过已经严重变形了。所以全导$\frac{dz}{dt}$在$zt$平面上还是切线的斜率：

但因为变形，已经不是$xyz$空间中的切线（实际上要是还原回去的话是一条曲线）。$xyz$空间的切线需要全导数$\frac{dz}{dt}$以及$\frac{dy}{dt}$、$\frac{dx}{dt}$共同决定。

至于$xyz$空间中切线的斜率具体怎么求，就是切向量的问题了，有机会我们接着说。